Auf wie viele verschiedene Arten kann sie all diese Dosen unter ihren Freundinnen verteilen unter der Bedingung, …

Question

Aufgabe:

Sarah hat 7 identische Dosen Limonade, die sie an 3 Freundinnen verschenken möchte.

Auf wie viele verschiedene Arten kann sie all diese Dosen unter ihren Freundinnen verteilen unter der Bedingung, dass jede Freundin mindestens eine Dose Limonade erhält?

Problem/Ansatz:

Ich kann mir hier keinen Ansatz ausdenken : (
Ich bräuchte einen Ansatz, der nicht auf Probieren basiert, wenn es geht.

Answer 1

1-1-5 (3 Reihenfolge)

1-2-4 (6 RF)

1-3-3 (3 RF)

2-2-3 (3 RF)

3+6+3+3 = 15

Comments

Wie kann man wissen, dass es mit Reihenfolge ist? Mir hat es irgendwie blöd vorgekommen, weil man doch nicht wissen will, in welcher Reihenfolge es verteilt wird.

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Mit Reihenfolge ist hier nicht gemeint, in welcher Reihenfolge die Dosen verteile werden. Sondern, wenn 1-1-5 eine Kombination ist, dann auch 1-5-1 und 5-1-1.

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Die sieben Dosen sollen identisch und also vertauschbar sein, die drei Freundinnen aber nicht.

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Nenne die Beschenkten: Anna, Bianca, Christine

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Wie gewöhnlich. Man kann sie auch Adelheid, Brunhilde und Cassandra nennen. Oder ganz darauf verzichten, denn das ist doch völlig unnötig. Sehr bald nach der Primarschule haben meine Lehrmenschen auf die dümmlich anmutende Benennung von Personen verzichtet, wofür ich ihnen dankbar war.

Answer 2

((3 über 7 - 3)) 
= ((3 über 4))
= (3 + 4 - 1 über 4)
= (6 über 4)
= (6 über 6 - 4)
= (6 über 2)
= 6*5/2 = 15

Zu den Formeln und Hinweisen siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik

Comments

((3 über 4))

n < k ??   Wieso? Geht das überhaupt?

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n < k ?? Wieso? Geht das überhaupt?

k kann immer größer als n sein, wenn mit zurücklegen aus einer Urne gezogen wird. Nur wenn ohne Zurücklegen gezogen wird muss k ≤ n gelten.

Beachte bitte, dass ich ((n über k)) geschrieben habe und nicht (n über k). Das ist ein Unterschied.

Zu den Formeln und Hinweisen siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik

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Sorry, aber ich verstehe das nicht ganz.

Ich lese das zum 1. Mal.

Kannst du es mir bitte so einfach wie möglich erklären.

Für den Link fehlt mir die Konzentration im Moment.

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Ich habe es für dich ergänzt:

k kann immer größer als n sein, wenn mit zurücklegen aus einer Urne gezogen wird. Nur wenn ohne Zurücklegen gezogen wird muss k ≤ n gelten.

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So verstehe ich es. Vielen Dank.

Man kann ja beliebig oft zurücklegen.

Wie gesagt, mir ist das so noch nicht begegnet.

Answer 3

Da du nach einem Ansatz ohne Probieren gefragt hast, ergänze ich diese Antwort.

Jede der 3 Freundinnen bekommt mindestens eine Dose, also müssen (nachdem jede eine Dose bekommen hat) nur 4 Dosen verteilt werden.

Die Anzahl der möglichen Verteilungen entspricht also der Anzahl der ganzzahligen Lösungen von

\(x_1+x_2+x_3 = 4\) mit \(x_1,x_2,x_3 \geq 0\)

Dies ist eine typische kombinatorische Fragestellung, die eine überraschend einfache Lösung hat, welche man ganz schnell mit der Star-and-Bar-Methode finden kann:

Stell dir dabei die Pluszeichen als Trennstäbchen vor. Dann entspricht jede Anordnung von 4 Dosen und 2 Trennstäbchen einer möglichen Verteilung.

Z. Bsp. \(DD||DD\) entspricht 2 Dosen jeweils für die 1. und 3. Freundin und keine für die 2. Freundin.

Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, 4 Dosen und 2 Trennstäbchen anzuorden?

\(\frac{(4+2)!}{4!\cdot 2!}= \binom 62 = 15\)

Answer 4

Aloha :)

Du kannst die \(7\) in drei ganzzahlige Summanden zerlegen, die alle \(\ge1\) sind, weil ja jede Freundin mindestens \(1\) Dose bekommen soll. Nun stell die drei Freundinnen nebeneinander in eine Reihe und überlege dir, wie du die Summanden auf die drei Positionen verteilen kannst:

$$7=1+1+5\implies\text{3 Möglichkeiten}\colon(115)\;(151)\;(511)$$$$7=1+2+4\implies\text{6 Möglichkeiten}\colon(124)\;(142)\;(214)\;(241)\;(412)\;(421)$$$$7=1+3+3\implies\text{3 Möglichkeiten}\colon(133)\;(313)\;(331)$$$$7=2+2+3\implies\text{3 Möglichkeiten}\colon(223)\;(232)\;(322)$$

Das sind insgesamt \(15\) Möglichkeiten.