Bestimmen Sie a so, dass der Imaginärteil von z gleich 1/2 ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Komplexe Zahl z = \( \frac{a-2i}{a-i} \) , wobei a eine reelle Zahl ist. Bestimmen Sie a so, dass der Imaginärteil von z gleich 1/2 ist.

Problem/Ansatz:

ich habe einen zweiten Audruck gemacht: z = a + \( \frac{1}{2} \) i, und dann mit der ersten Gleichung gleichgesetzt, der Ausdruck ist jedoch zu kompliziert, um nach a umgestellt zu werden.

Ist dieser Ansatz überhaupt richtig?

Answer 1

\(\begin{aligned} \frac{a-2i}{a-i} & =\frac{\left(a-2i\right)\left(a+i\right)}{\left(a-i\right)\left(a+i\right)}\\&=\frac{a^{2}+2-ai}{a^{2}+1}\\&=\frac{a^{2}+2}{a^{2}+1}+\frac{-a}{a^{2}+1}i\\\\\Im(z)&=\frac{1}{2}\\\iff \frac{-a}{a^{2}+1}&=\frac{1}{2}\end{aligned}\)

ich habe einen zweiten Audruck gemacht: z = a + \( \frac{1}{2} \) i

Der Ansatz

        \(\frac{a-2i}{a-i} = a+\frac{1}{2}i\)

ist falsch, weil das \(a\) in \(z=a+\frac{1}{2}i\) nicht den gleichen Wert wie das in \(z=\frac{a-2i}{a-i}\) haben muss. Stattdessen könntest du anstatt meines obigen Ansatzes den Ansatz

    \(\frac{a-2i}{a-i} = b+\frac{1}{2}i\)

verwenden.

Comments

Aber man muss noch nicht die unterste Gleichung nach a auflösen?

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Man sollte die Gleichung \(\frac{a-2i}{a-i} = b+\frac{1}{2}i\) nicht nach \(a\) auflösen. Man würde dadurch

        \(a=\frac{1+\left(2-b\right)i}{1-b-\frac{1}{2}i}\)

bekommen und stünde dann vor dem Problem, wie \(b\) gewählt werden müsste damit \(a\) reell ist.

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Ich meine Deine letzte Gleichung, die hier: \(\begin{aligned} \frac{-a}{a^{2}+1}&=\frac{1}{2}\end{aligned}\)

Die muss man doch noch nach a umstellen, weil sonst die Aufgabe nicht gelöst ist?

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Selbstverständlich muss man das. Das hat dir nudger in seiner Antwort auch schon geschrieben.

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Tja, die Leute erwarten hier eben schon vollständige Lösungen...

Answer 2

Wie "einen zweiten Ausdruck gemacht"? Woher? Wenn das die Darstellung von \(z\) sein soll, dann muss der Realteil aber nicht \(a\) sein.

Bestimme den Imaginärteil von \(z\) auf dem üblichen Weg (mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitern usw.), setze den \(=\frac12\), gibt eine quadratische Gleichung in \(a\).