Mit den Betragsstrichen und ohne den Nachweis von bk>0
für hinreichend großes k halte ich den Beweis für falsch.
Ich hätte es so gemacht: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \wedge b \gt 0 \).
Mit \( \varepsilon = b \) folgt mit der Def. von \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \)
\( \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{0}:\left|b_{n}-b\right| < \varepsilon \),
also \( -b < b_{n}-b < b \)
bzw. \( 0 < b_{n} < 2b \) ## also wie versprochen:
Für n>n0 jedenfalls 2b > bn > 0.
Und aus der anderen Voraussetzung \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \)
folgt mit der richtigen Definition
\( \forall K>0 \exists n_{1} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{1}: a_{n}>K \). #
Das zwischen xxxxxxxx und xxxxxxxxx gehört nicht zur
Lösung, ich vermute aber, es macht dir deutlich wie ich drauf gekommen bin.
xxxxxxxxxxxxxxx
Was du beweisen sollst, ist ja
\( \forall K>0 \exists n_{2} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{1}: a_{n}\cdot b_n >K \).
Wäre also anzunehmen man habe ein K>0.
Dann würde aus a_{n}>K
wegen bn>0 zumindest folgen \( a_{n}\cdot b_n >K\cdot b_n \).
Nun hatten wir aber oben schon gesehen : Für n>no gilt bn < 2b.
Um auf \( a_{n}\cdot b_n >K \) zu kommen, bräuchte man
aafangs \( a_{n} > \frac{K}{b_n } \) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Also kann man so argumentieren Sei K>0.
Dann ist auch \( \frac{K}{2b } >0 \) und wegen # gilt
\( \exists n_{1} \in \mathbb{N} \quad \forall n \geqslant n_{1}: a_{n}> \frac{K}{2b } \)
Mit deiner Ideen \( n_{2}=\max \left\{n_{0}, n_{1}\right\} \) hat man dann
für n>n2
==> \( a_{n}\cdot b_n > \frac{K\cdot b_n}{2b } \) ### und 2b > bn > 0
Und wegen \( \frac{K\cdot bn}{2b } = K\cdot \frac{ bn}{2b } \)
Und wegen 2b > bn > 0 gilt \( \frac{ bn}{2b } < 1 \)
Also kannst du ### fortsetzen zu
\( a_{n}\cdot b_n > \frac{K\cdot bn}{2b } > K \) q.e.d.
