Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Folgen konvergent sind.

Question

Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Folgen \( a_{n}=\sin (2 \pi n) \) und \( a_{n}=\sin \left(\frac{\pi n}{2}\right) \) konvergent sind.

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Answer 1

Aloha :)

$$\text{(a) } a_n=\sin(2\pi\,n)=0\quad\Rightarrow\quad a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$$$$\text{(b) } a_n=\sin\left(\frac{\pi}{2}\,n\right)=\left\{\begin{array}{rcl}0 &\text{falls}& n=4k\\1 & \text{falls} & n=4k+1\\0 & \text{falls} & n=4k+2\\-1 & \text{falls} & n=4k+3\end{array}\right.\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$\((a_n)\) hat 3 Häufungspunkte \(-1,0,1\) und konvergiert daher nicht.