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Wie löst man das am besten? Wie soll man das beweisen? ich würde jetzt mal darauf tippen, dass die gleichheit gilt, aber das ist nur meine intuition. eine funktionsangabe von f und g besteht nicht.

danke :)Bild Mathematik
 

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Minimum waere, dass Du die ersten zehn Glieder beider Folgen ausrechnest. Was kommt dabei raus?

für f:

2 < 1
3 < 2
4 < 7

und g:

dasselbe bloß ab g(4)=9. also gilt keine gleichheit.

mindestens einer von uns hat sich verrechnet:

$$ f(n)= (n-1)(f (n-1)+f (n-2)) $$
$$f(0)= 1\quad f(1)=0$$
$$ f(2)= (2-1)\cdot (f (2-1)+f (2-2)) $$
$$ f(2)= (1)\cdot (f (1)+f (0)) $$
$$ f(2)= (1)\cdot (0+1) $$
$$ f(3)= (3-1)\cdot (f (3-1)+f (3-2)) $$
$$ f(3)= (2)\cdot (f (2)+f (1)) $$
$$ f(3)= (2)\cdot (1+0) $$
$$ f(4)= (4-1)\cdot (f (4-1)+f (4-2)) $$
$$ f(4)= (3)\cdot (f (3)+f (2)) $$
$$ f(4)= (3)\cdot (2+1) $$
$$ f(4)= 9 $$
$$ f(5)= (4)\cdot (f (4)+f (3)) $$
$$ f(5)= (4)\cdot (9+2) $$
$$ f(5)= 44 $$

Ja das wäre dann wohl ich -.-

hab bis zum Wert 7 beide fkt berechnet und sie stimmen. Wie kann aber jetzt weiter machen?

Mir würde spontan nämlich nur beweis durch induktion einfallen...

1 Antwort

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Beste Antwort

Gleichheit stimmt .

Beweis mit vollst. Induktion

Anfang ist ja klar.

Ind.vor  Es gibt ein n mit f(m) = g(m)

gilt für alle m ≤ n

Dann bleibt zu zeigen  f(n+1) = g(n+1) .

Das bekommst du leicht durch Äquivalenzumformung:

g(n+1) = f(n+1)

<=>  (n+1)*g(n)+(-1)n+1 = n*(f(n)+f(n-1))

<=>  (n+1)*g(n)-(-1)n = n*(f(n)+f(n-1))

<=>  n*g(n) +g(n)-(-1)n = n*f(n)+n*f(n-1)

wegen g(n) = f(n) also

<=>  g(n) - (-1)n = n*f(n-1)

wegen f(n-1) = g(n-1)

<=>  g(n) - (-1)n = n*g(n-1)

<=>  g(n)= n*g(n-1)  + (-1)n  und das ist die Rekursionsgleichung

für g.  Kannst die Sache auch andersherum aufschreiben, sieht

klüger aus !

Avatar von 289 k 🚀

Anfang ist ja klar.

Hoffentlich

Hilfreicher vielleicht:

Zeige als Ind. anfang:

Die Aussage:

Es gibt ein n mit f(m) = g(m) gilt für alle m ≤ n.

gilt für n=1.

Du musst also zeigen f(0) = g(0) und f(1)=g(1).

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