Gleichheit von Folgen. Beweis Hilfe bitte :)

Question

Wie löst man das am besten? Wie soll man das beweisen? ich würde jetzt mal darauf tippen, dass die gleichheit gilt, aber das ist nur meine intuition. eine funktionsangabe von f und g besteht nicht.

danke :)
 

Comments

Minimum waere, dass Du die ersten zehn Glieder beider Folgen ausrechnest. Was kommt dabei raus?

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für f:

2 < 1
3 < 2
4 < 7

und g:

dasselbe bloß ab g(4)=9. also gilt keine gleichheit.

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mindestens einer von uns hat sich verrechnet:

$$ f(n)= (n-1)(f (n-1)+f (n-2)) $$
$$f(0)= 1\quad f(1)=0$$
$$ f(2)= (2-1)\cdot (f (2-1)+f (2-2)) $$
$$ f(2)= (1)\cdot (f (1)+f (0)) $$
$$ f(2)= (1)\cdot (0+1) $$
$$ f(3)= (3-1)\cdot (f (3-1)+f (3-2)) $$
$$ f(3)= (2)\cdot (f (2)+f (1)) $$
$$ f(3)= (2)\cdot (1+0) $$
$$ f(4)= (4-1)\cdot (f (4-1)+f (4-2)) $$
$$ f(4)= (3)\cdot (f (3)+f (2)) $$
$$ f(4)= (3)\cdot (2+1) $$
$$ f(4)= 9 $$
$$ f(5)= (4)\cdot (f (4)+f (3)) $$
$$ f(5)= (4)\cdot (9+2) $$
$$ f(5)= 44 $$

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Ja das wäre dann wohl ich -.-

hab bis zum Wert 7 beide fkt berechnet und sie stimmen. Wie kann aber jetzt weiter machen?

Mir würde spontan nämlich nur beweis durch induktion einfallen...

Answer 1

Gleichheit stimmt . 

Beweis mit vollst. Induktion

Anfang ist ja klar.

Ind.vor  Es gibt ein n mit f(m) = g(m) 

gilt für alle m ≤ n

Dann bleibt zu zeigen  f(n+1) = g(n+1) .

Das bekommst du leicht durch Äquivalenzumformung:

g(n+1) = f(n+1) 

<=>  (n+1)*g(n)+(-1)ⁿ⁺¹ = n*(f(n)+f(n-1))

<=>  (n+1)*g(n)-(-1)ⁿ = n*(f(n)+f(n-1))

<=>  n*g(n) +g(n)-(-1)ⁿ = n*f(n)+n*f(n-1)

wegen g(n) = f(n) also 

<=>  g(n) - (-1)ⁿ = n*f(n-1)

wegen f(n-1) = g(n-1) 

<=>  g(n) - (-1)ⁿ = n*g(n-1)

<=>  g(n)= n*g(n-1)  + (-1)ⁿ  und das ist die Rekursionsgleichung

für g.  Kannst die Sache auch andersherum aufschreiben, sieht

klüger aus !

Comments

Anfang ist ja klar.

Hoffentlich

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Hilfreicher vielleicht:

Zeige als Ind. anfang:  

Die Aussage:

Es gibt ein n mit f(m) = g(m) gilt für alle m ≤ n.

gilt für n=1.

Du musst also zeigen f(0) = g(0) und f(1)=g(1).