Zufallsgröße, Erwartungswert. Tontaubenschütze schießt so lange, bis er einmal getroffen hat, maximal jedoch 6 mal.

Question

Ein Tontaubenschütze schießt so lange, bis er einmal getroffen hat, maximal jedoch 6 mal. Er trifft pro Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Schüsse.

a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf.
b) Wie groß ist der Erwartungswert von X?
c) Wie groß ist der Erwartungswert von X, wenn die Treffsicherheit des Schützen nur 25% beträgt?

a) 1 - 1/2 ; 2-1/4 ... nur bei P(X=6) bin ich mir unsicher es kann nicht 1/64 sein weil sonst die summe der Wahrscheinlichkeiten nicht 1 ergeben würde,deshalb hab ich für P(X=6)=1/32, weil beim 6 Schuss ist es ja egal ob er trifft oder nicht..oder?

b) 63/32 raus

und bei c) muss ich das alles wie bei a) nochmal machen nur mit 0,25 multiplizieren?

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Wie geht das bei der c) dann weiter ? ich komm da nicht ganz damit klar, wie soll denn das baumdiagramm dann aussehen ?
bin etwas verwirrt ...

Answer 1

Ein Tontaubenschütze schießt so lange, bis er einmal getroffen hat, maximal jedoch 6 mal. Er trifft pro Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Schüsse.

a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf.

P(X = 0) = 0
P(X = 1) = 1/2
P(X = 2) = 1/4
P(X = 3) = 1/8
P(X = 4) = 1/16
P(X = 5) = 1/32
P(X = 6) = 1/32

b) Wie groß ist der Erwartungswert von X?

0·0 + 1·1/2 + 2·1/4 + 3·1/8 + 4·1/16 + 5·1/32 + 6·1/32 = 63/32 = 1.96875

c) Wie groß ist der Erwartungswert von X, wenn die Treffsicherheit des Schützen nur 25% beträgt?

Du hast also bisher alles richtig gemacht. Jetzt sollte c) kein Problem darstellen.

Comments

mmh bei c) kommen so große Zahlen raus

bei P(X=5)=1/1024.. bei X=6 dann theoretisch 683/1024 damit 1 erreicht wird?

ist das richtig?

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Oder so evtl?

P(X = 5) = 0.75^4 * 0.25 = 81/1024

P(X = 6) = 0.75^5 = 243/1024

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Aber sie beträgt doch nur noch 0.25 also 25% warum dann 0.75?

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Naja mit 0.25 ist nach dem Ersten Schuss schon Schluss weil er getroffen hat. Interessant ist ja nur das er nicht trifft.

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Aber bei a) haben wir doch auch mit 0,5 gerechnet? und jetzt ändert sich ja nur die Treffsicherheit? Ich glaub stehe auf dem Schlauch

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Nehmen wir mal an du triffst mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% mit welcher Wahrscheinlichkeit triffst du dann nicht ?

Und nun triffst du mit einer Wahrscheinlichkeit von nur noch 25%. Mit welcher wahrscheinlichkeit triffst du dann nicht?

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ok dann doch mit 0,75 multiplizieren

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Ja. Notfalls kannst du dir ja mal ein Baumdiagramm aufmalen.

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Danke,also zählt eig nur der Pfad für nicht treffen?

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Nein:

P(X = 1) = 0.25

P(X = 2) = 0.75 * 0.25

usw.

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ok stimmt alles:)

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Das sind nicht mehr.

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Wieso ergibt P(X=6)=1/32??

(1/2)^6=1/64 ?

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Nach welchem Muster löst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für a) & c) ?

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Baumdiagramme und Pfadregeln. Mehr braucht man nicht.

Das Baumdiagramm braucht man sich auch nicht aufmalen sondern braucht es sich nur vorstellen.

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Danke, ich komme dennoch mit P(X=6)=1/32 nicht klar.

Das ist doch eigentlich die einzige Möglichkeit, dass er beim sechsten Mal trifft oder?

Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft

1/2⁵*1/2=1/64

Was ist denn die zweite Möglichkeit ?

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Was ist denn die zweite Möglichkeit ? 

Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht - Trifft nicht 

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Ich verstehe das Prinzip nicht ganz:
Bedeutet P(X=6), dass er beim 6 mal trifft oder dass er 6 mal schießt?

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Was bedeutet denn bsp.

P(X=1) Man schießt einmal, trifft man oder trifft man nicht, oder spielt das gar keine Rolle?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Schüsse.

Bei P(X = 6) fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass genau sechs mal geschossen wird. Das bedeutet er hat meim sechsten mal getroffen oder auch nicht und dann aufgehört.

Bei P(X = 1) fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal geschossen wird. Das bedeutet das er zwangsläufig getroffen haben muss, denn ansonsten würde er weiterschießen.

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Vielen Dank

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Was würde der Erwartungswert jetzt bei b zum Sachkontext bedeuten. Was bedeutet jetzt die 1,96.. ???

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Das wenn eine Tontaube getroffen wurde, dass dazu im Mittel ca. 2 Schüsse notwendig waren.

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Super, dankeschön

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Ich verstehe nicht, wieso man bei X=5 und X=6 bei beiden die Wahrscheinlichkeit von 1/32 hat. Müsste es nicht für X=5 0,5 hoch 5 sein und für X=6 0,5 hoch 6?

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die Wahrscheinlichkeit halbiert sich jedes mal

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genau, das habe ich ja verstanden, aber wieso hallbiert sie sich dann bei X=6 nicht mehr?

Die müsste doch dann 1/64 sein

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Hat sich erledigt habe gerade gesehen dass die Frage schon gestellt wurde und habe es jetzt verstanden