Ein Würfel werde so lange geworfen

Question

Aufgabe: Ein Würfel werde so lange geworfen, bis die Augenzahl 6 fällt, Betrachte die Zufallsgrösse X: Anzahl der Würfe, bis Augenzahl 6 fällt:

a) Begründe mit Hilfe eines geeigneten Baumdiagramms: \( P ( X = k ) = \left( \frac { 5 } { 6 } \right) ^ { k - 1 } \cdot \frac { 1 } { 6 } f \) für \( k = 1, 2, 3, ... \)

b) Lege eine Tabelle an für \( k = 1, 2, 3, ..., 15 \). Ergänze die Tabelle um eine Spalte für \( P(X ≤ k) \).

c) Begründe mit Hilfe des Baumdiagramms aus a), dass \( P ( X \leq k ) = 1 - \left( \frac { 5 } { 6 } \right) ^ { k } \).

d) Wie oft muss man würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % mindestens eine Sechs gefallen ist?

Comments

Bitte schreibe auch immer dazu wo du ein Problem hast. Hast du schon Probleme ein Baumdiagramm zu zeichnen oder kannst Du Teil a) alleine Lösen?

Answer 1

a) Begründe mit Hilfe eines geeigneten Baumdiagrammes: P(X = k) = (5/6)^{k-1} * (1/6) für k = 1, 2, 3, ...

Wenn beim k. Wurf genau die 6 Fallen soll muss ich vorher k-1 mal keine 6 geworfen haben.

Die Wahrscheinlichkeit k-1 mal keine 6 zu werfen beträgt (5/6)^{k-1}. Die Wahrscheinlichkeit im darauf folgenden Wurf eine 6 zu Werfen beträgt 1/6. Es gilt also der angegebene Term für P(X = k).

b) Lege eine Tabelle an für k = 1, 2, 3, ..., 15

[(5/6)^{k - 1}·(1/6), 1 - (5/6)^k]
[1, 0.1666666666, 0.1666666666;
2, 0.1388888888, 0.3055555555;
3, 0.1157407407, 0.4212962962;
4, 0.09645061728, 0.5177469135;
5, 0.08037551440, 0.5981224279;
6, 0.06697959533, 0.6651020233;
7, 0.05581632944, 0.7209183527;
8, 0.04651360787, 0.7674319606;
9, 0.03876133989, 0.8061933005;
10, 0.03230111657, 0.8384944171;
11, 0.02691759714, 0.8654120142;
12, 0.02243133095, 0.8878433452;
13, 0.01869277579, 0.9065361210;
14, 0.01557731316, 0.9221134341;
15, 0.01298109430, 0.9350945284]

c) Begründe mit Hilfe des Baumdiagramms, dass P(X ≤ k) = 1 - (5/6)^k

d) Wie oft muss man würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mind. eine 6 gefallen ist.

Gegenereignis von mind. eine 6 ist keine 6.

1 - (5/6)^n > 0.9
n > ln(0.1)/ln(5/6) = 12.6

Man muss also 13 mal würfeln.