Ein Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal eine Zahl erneut auftritt...

Question

Hallo..

Ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter..

Ein Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten mal eine Zahl auftritt, die schon einmal gewürfelt wurde. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der dazu erforderlichen Würfe. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.

Ich komm nicht drauf wie ich die Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann..

Klar ist schonmal das P(X=1)=0 sein muss..

Und für P(X=2)=Würde ich 1/6 sagen, aber der Rest is mir schleierhaft =(

Comments

Das ist soweit richtig und so ähnlich geht es auch weiter.

Answer 1

Klar ist schonmal das P(X=1)=0 sein muss..

Ebenfalls 0= P(X=8) = P(X=9) = ....
P(X=3) = 5/6 * 2/6
P(X=4) = 5/6 * 4/6 * 3/6 
P(X=5) = 5/6 * 4/6 * 3/6 * 4/6
P(X=6) = 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6 * 5/6
P(X=7) = 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6 * 1/6 * 1
blau oben eine schon gewürfelte Zahl.
Vorher schwarz: Alles unterschiedliche Zahlen.
Überleg mal, ob das sein kann. Die Summe aller P müsste ja 1 sein.

Answer 2

Ein Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten mal eine Zahl auftritt, die schon einmal gewürfelt wurde. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der dazu erforderlichen Würfe. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.

Ich rechne das mal mit einer Markov-Kette.

a: Ist die Anzahl an Würfen wenn ich bereits 1 Zahl geworfen habe.

b: Ist die Anzahl an Würfen wenn ich bereits 2 verschiedene Zahlen geworfen habe.

c: Ist die Anzahl an Würfen wenn ich bereits 3 verschiedene Zahlen geworfen habe.

d: Ist die Anzahl an Würfen wenn ich bereits 4 verschiedene Zahlen geworfen habe.

e: Ist die Anzahl an Würfen wenn ich bereits 5 verschiedene Zahlen geworfen habe.

f: Ist die Anzahl an Würfen wenn ich bereits 6 verschiedene Zahlen geworfen habe.

a = 1/6·1 + 5/6·(1 + b)

b = 2/6·1 + 4/6·(1 + c)

c = 3/6·1 + 3/6·(1 + d)

d = 4/6·1 + 2/6·(1 + e)

e = 5/6·1 + 1/6·(1 + f)

f = 6/6·1

a = 899/324

b = 115/54

c = 61/36

d = 25/18

e = 7/6

f = 1

1 + a = 1 + 899/324 = 1223/324 = 3.775