beweisen ob die reihe konvergent ist?

Question

ist die reihe $$ \sum { (2 } ^{ n }n!)/(2n!)\\ $$ konvergent?

ich hab das mit quotientenkriterium gemacht und komme bei diesem schritt einfach nicht weiter:

$$ \sum { (2 } ^{ n+1 }(n+1)!)/(2n!(n+1)\quad mal\quad (2n!)/({ 2 }^{ n }n!)\\ $$

Answer 1

$$ \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{2^nn!} = \frac{2(n+1)}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{1}{2n+1}$$

ab hier dürfte es klar sein.

Gruß

Comments

können sie mir sagen wie sie im ersten schritt beim nenner zu (2n+2)! kommen und beim zweiten schritt im zähler zu 2(n+1) kommen, können sie das vielleicht näher erläutern?

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@Yakyu: Im Nenner des Summanden steht \(2n!\), nicht \((2n)!\).

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Bin einfach davon ausgegangen, dass der Fragesteller falsch geklammert hat. Ansonsten könnte man ja kürzen und die Aufgabenstellung wäre noch trivialer.

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und wie gehts jetzt weiter?

Answer 2

Wieso Quotientenkriterium?

\(\frac{2^nn!}{2n!}\) ist doch noch nichtmal eine Nullfolge.

Comments

wie??? mein prof hat das auch mit quotientenkriteium gmacht aber bei ihm siehts zu brutal aus :)

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Sieht die Reihe wirklich so aus wie oben angegegen (und nicht irgendwelche Klammern vergessen)?

\(\frac{2^n n!}{2n!}\) ist doch das gleiche wie \(2^{n-1}\), was offensichtlich keine Nullfolge ist. Also kann die Reihe auch nicht konvergieren.