Stochastik Aufgabe Bohnen

Question

Aufgabe:

Bohnen werden zum Keimen in die Erde gebracht. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bohne keimt, beträgt \( \frac{2}{3} \).

b)  Ermitteln Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Bohnen mindestens zwei keimen.
(3 BE)

Problem/Ansatz:

n*(2/3*1/3) + (2/3)^n

Comments

Wie kommst Du auf Deinen Term?

Bei n = 2 muss das Ergebnis ja 4/9 sein.

Und was ist ein BE?

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Bewertungseinheit.

Answer 1

Setze p = 2/3 in die Formel der Binomialverteilung ein:

\(\displaystyle \sum\limits_{k=2}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(1-\frac{2}{3}\right)^{n-k}\)

Comments

Für n > 5  und ohne Technik/händisch kann man nur viel Spaß wünschen, wenn man nicht übers Gegenereignis geht, das der Lehrer vermutlich erwartet.

Bei Bohnensamen dürfe n mindestens im 3-stelligen Bereich liegen.

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Man kann das noch vereinfachen zu

\(\displaystyle = 1 - \frac{1+2n}{3^n} \)

@ggT22:   3^6 ist machbar.

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@ggT22: 36 ist machbar.

Warum 3^6? Warum geht nicht mehr?

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Weil Du skeptisch warst für n > 5 und weil 6 > 5.

Warum geht nicht mehr?

Selbstverständlich geht auch mehr.

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Ich meinte ohne unangehmen Rechenaufwand.

5 war nur eine Beispiel, wo es für manche schon stressig wird, mich z.B.

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Was meint ihr, warum die Aufgabe lautet "ermittle einen Term"... Weil die Berechnung irrelevant ist!

Answer 2

Mit dem Gegenereignis P(X<=1) = P( alle keimen nicht/keine keimt oder nur eine keimt)

P(X>=2) = 1- P(X=0)-P(X=1)

= 1- (1/3)^n - (nüber1)*(2/3)*(1/3)^(n-1)

(nüber1) = n

Comments

Halte mal nach Fehlern ausschau.

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Danke, die Verwechslung ist korrigiert.

Answer 3

P(Es keimen mindestens 2)

= 1 - P(Es keimt höchstens 1)

= 1 - (1/3)^n - n*(2/3)*(1/3)^(n-1)

= 1 - (2·n + 1) / 3^n