zu a )
In diesem Zusammenhang ist folgende Formel von Bedeutung:
Seien A und B Matrizen von passendem Typ, sodass sie also miteinander multipliziert werden können. Dann gilt:
( A * B ) T = B T * A T
Um auf die in der Lösung angegebene Matrix zu kommen, kann man tatsächlich die Transponierten der Mischungsmatrix
$$T=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
und der Sortimentsmatrix
$$S=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
miteinander multiplizieren, also:
$${ T }^{ T }*{ S }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 & 5 \\ 6 & 3 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$$
Dasselbe Ergebnis erhält man aber auch (siehe oben genannte Formel), wenn man Die Sortimentsmatrix S mit der Mischungsmatrix T multipliziert und die Ergebnismatrix transponiert, also:
$$(S*T)^{ T }=\left[ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] ^{ T }={ \begin{pmatrix} 18 & 6 & 8 \\ 5 & 3 & 3 \end{pmatrix} }^{ T }=\begin{pmatrix} 18 & 5 \\ 6 & 3 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$$
Man erspart sich dadurch eine Transpositionsoperation, da man nicht beide Eingangsmatrizen transponieren muss, sondern nur die Ergebnismatrix.
zu b)
Hier muss der Spaltenvektor G1 der Gesamtverbrauchsmatrix mit 100 und der Spaltenvektor G2 mit 60 multipliziert und beide Ergebnisse addiert werden, also:
$$V\begin{pmatrix} K \\ E \\ B \end{pmatrix}=100*\begin{pmatrix} 18 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}+60\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2100 \\ 780 \\ 980 \end{pmatrix}$$
Allerdings stimmt auch mein Ergebnis nicht mit der Lösung überein, die allerdings auch falsch sein muss, denn betrachtet man zum Beispiel nur die Karotten, die Mischung T2 und das Sortiment S1, so sieht man:
S1 enthält 4 Kisten der Mischung T2 , jede dieser Kisten enthält 4 ME Karotten, also enthält das Sortiment S1 insgesamt 16 ME Karotten. Folglich sind allein in 100 Kisten des Sortiments S1 insgesamt 1600 ME Karotten enthalten, also bereits mehr, als die 1580 ME, die laut Lösung in 100 Kisten S1 und 60 Kisten S2 enthalten sein sollen.
zu c)
Diese Aufgabe hast du richtig gelöst.
zu d)
Hier musst du nur den Spaltenvektor BOHNEN=\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix})\) der Mischungsmatrix T betrachten. Multipliziere den Bedarfsvektor \(B=\begin{pmatrix} 70 & 30 \end{pmatrix}\) mit diesem Vektor und du erhältst den gesuchten Bedarf an Bohnen, also:
$$BEDARF(BOHNEN)=B*BOHNEN=\begin{pmatrix} 70 & 30 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=170$$
Es werden also 170 ME = 17 kg Bohnen benötigt.
