Bestimmen Sie, ob W = R ein Untervektorraum des Vektorraums V ist, wobei

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, ob W = R ein Untervektorraum des Vektorraums V ist, wobei
(a)V = R^2 über R

(b) V = C über R,
(c) V = C über C

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, wie man erkennen kann, ob es ein Untervektorraum ist, wenn die Menge W aus den reellen Zahlen besteht. Ansonsten hat man ja beispielsweise a,b,c aus d dem Vektorraum die auch in W liegen, wobei man die Kriterien mit Nullvektor, Additionsverfahren und Multiplikationsverfahren durchgeht.

Answer 1

a) W ist ja keine Teilemenge von V; denn ℝ² besteht aus Paaren

reeller Zahlen. Also erst recht kein Unterraum.

b) ℝ ist eine Teilmenge von ℂ und auch ein Unterraum wenn man

ℂ als ℝ-Vektorraum betrachtet.  0 ist drin und die Summe von

zweien auch und bei der S-Multiplikation multipliziert man ja die

reellen Elemente auch nur mit reellen Faktoren, erhält also wieder

etwas reelles.

c) Bei ℂ als ℂ-Vektorraum ist das nicht so. Wenn man z.B.

die reelle Zahl 1 mit i multipliziert erhält man i,

das ist aber nicht in ℝ.

Comments

Kann man das auch irgendwie rechnerisch beweisen?

---

und ist beim Beispiel a.) nicht auch ein R-Vektorraum, weil R^2 über R?

---

Kann man das auch irgendwie rechnerisch beweisen?

Na klar, du musst mein Argument nur etwas formalisieren:

ℝ ist eine Teilmenge von ℂ

etwa so: (Je nach eurer Definition von ℂ)

Es ist ℂ={a+bi| a,b ∈ℝ }. Jedes x∈ℝ lässt sich schreiben als x=x+o*i , ist also in ℂ.

und auch ein Unterraum wenn man

ℂ als ℝ-Vektorraum betrachtet. 0=0+0*i  ist drin und die Summe von zweien auch; denn mit

x und y ist x+y aus ℝ da ℝ ein Körper ist.

und bei der S-Multiplikation multipliziert man ja die

reellen Elemente auch nur mit reellen Faktoren,

erhält also wieder ein Element aus ℝ, da ℝ ein Körper ist.

UND: und ist beim Beispiel a.) nicht auch ein R-Vektorraum, weil R^2 über R?

Das heißt doch nur die Elemente von ℝ² werden mit Elementen von ℝ multipliziert. Aber ℝ ist ja keine

Teilmenge von ℝ².