Question

Entscheiden Sie für die folgenden Teilmengen eines Vektorraums, ob sie ein Untervektorraum sind

a) {f ∈ R[t] : deg(f) ≥ 2} ∪ {0}

b) {f ∈ R[t] : f(1) = 0}

c) {f ∈ R[t] : ∃a ∈ R mit f(a) = 0}

d) {(x,y,z) ∈ R³ : x = z}

e) {(x,y,z) ∈ R³ : x = y oder x = z}

Comments

Hallo

 bei welchen bist du denn unsicher, hast du die einfachen Kriterien untersucht?

Gruß lul

Answer 1

a) {f ∈ R[t] : deg(f) ≥ 2} ∪ {0}

Nein: (  x^2 + x  )  + ( -x^2 + x ) =  2x hat Grad 1


b) {f ∈ R[t] : f(1) = 0}  stimmt . Du musst ja nur die Abgeschlossenheit

zeigen und dass, das 0-Polynom dabei ist.

c) {f ∈ R[t] : ∃a ∈ R mit f(a) = 0}     nein betrachte  x^3 + x^2 und -x^3 + x2 + 1

haben beide bei -1 eine Nullstelle, ihre Summe hat aber gar keine.

d) {(x,y,z) ∈ R3 : x = z}  Ja ist der von (1,0,1) und (0,1,0) erzeugte

Unterraum von R^3 

e) {(x,y,z) ∈ R3 : x = y oder x = z} nein, betrachte (1,1,5) und (1,2,1)

Comments

zu c) die Summe von x^3+x^2 und -x^3+2x+1, also x^2+2x+1, hat doch aber eine Nullstelle, nämlich auch -1? Oder wie war das gemeint?

zu e) Woran scheitert es dort? man hat x=y=1 (1∈U) und dann x+y=2, ist die 2 kein ∈ U?

---

oh, war vertippt, sollte x^2 nicht x*2 sein.

und bei e)

 (1,1,5) erfüllt die Bedingung x = y oder x = z

und (1,2,1) erfüllt die Bedingung x = y oder x = z

aber ( 2;3;6) nicht.

---

Ich verstehe c) nicht richtig.

-x³+x²+1 hat doch bei -1 keine Nullstelle und warum würde das beweisen, dass es kein Untervektorraum ist?

---

Das war so gemeint:

x3 + x^2 und -x^3 + x^2 + 1

haben beide bei -1 eine Nullstelle, ihre Summe

2x^2 + 1

hat aber gar keine, also gehört sie Summe 
nicht zu {f ∈ R[t] : ∃a ∈ R mit f(a) = 0}

Bei einem Vektorraum muss aber die Summe

zweier Elemente auch immer dazu gehören.

---

Müssen die beiden Nullstellen unbedingt im selben x liegen, wie hier beide an x=(-1), oder kann die eine Funktion eine Nullstelle bei x=(-1) und die andere eine bei x=1 haben?

Denn ihre Funktion -x³+x²+1 hat ihre Nullstelle bei 1 und nicht bei -1.

---

Wo die Nullstelle ist (bei 1 ist sie auch nicht) ist eigentlich

egal. Es geht ja nur darum:

Beide Funktionen haben eine Nullstelle,

erfüllen also die Bedingung

∃a ∈ R mit f(a) = 0

aber ihre Summe nicht.

---

Okay, Danke :D

Jetzt verstehe ich wie das gemeint ist.