Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am Stärksten zunimmt

Question

Aufgabe:

c)  Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.
Zeigen Sie, dass der zugehörige Wert der momentanen

1. Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.
An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf.
Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der definierten
Funktion f mit
f( x) = x *(8-5x)* (1-x/4)^2

beschrieben werden. Dabei gibt x die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und f(x) die
momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde

Comments

Wie lautet f(x) genau?

Die Angabe ist unverständlich. Was ist lb?

Gesucht ist f '(x) = 0.

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f( x) = x (8-5x) (1-x/4)^2

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f(x)=x.(85x).(1  ) 2  ??

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Die Funktion lautet:

f( x) = x (8-5x) (1-x/4)2

Answer 1

c)  Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

f(x) = x·(8 - 5·x)·(1 - x/4)^2 = - 0.3125·x^4 + 3·x^3 - 9·x^2 + 8·x

f'(x) = - 1.25·x^3 + 9·x^2 - 18·x + 8 = 0 --> x = 4 ∨ x = 0.6202 ∨ x = 2.5798

f(0.6202) = 2.169

Die Staulänge nimmt um ca. 6:37 Uhr mit einer Änderungsrate von ca. 2.2 km/h am schnellsten zu.

Answer 2

f( x) = x (8-5x) (1-x/4)² =(-5/16)x^4 +3x^3 - 18x +8

==> f ' (x) = (-5/4)x^3 + 9x^2 - 18x + 8

Das ist gleich 0 für x=4 und nach Polynomdivision durch (x-4)

findest du noch x=0,62 und x=2,58.

Es ist f''(0,62) negativ und f''(2,58) positiv , also

bei 0,62 ein lok. Max und bei 2,58 ein lok. Min von f.

Und x=4 liegt ganz am Rand des Definitionsbereiches,

der geht ja von 0 bis 4. Die stärkste Zunahme ist

also bei x=0,62 also etwa um 6:37h.

f sieht so aus: ~plot~ x*(8-5x)*(1-x/4)^2  ~plot~

Comments

22 im Expo war wohl doch ein wenig viel. So macht es mehr Sinn.

Answer 3

f '(x) = 0

Produktregel anwenden für (8x-5x^2)*(1- x/4)^22

u= 8x-5x^2, u' = 8-10x

v= (1-x/4)^22, v' = 22*(1-x/4)^21*(-1/4) = - 11/2*(1-x/4)^21

Damit solltest du weiterkommen.