Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Buche am stärksten wächst. Ableitungen.

Question

ich habe eine Frage, zu einer Aufgabe aus dem Matheabitur Grundkurs 2013. Ich fange gerade mit dem Lernen für Mathe an und muss zu meiner Schande gestehen, dass ich in der Analysiswiederholung nicht sonderlich aufmerksam war....

Also erstmal die Aufgabe:

Das Höhenwachstum einer speziellen Buche wird durch die Funktion f mit der Gleichung f(t)=f₃₅(t)=35*(1-e^(-1/50)*t)²

Bestimmen sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Buche am stärksten wächst.

Also ich weiß wie das geht. Ich muss als notwendige Bedingung f''(t)=0 und als hinreichende Bedingung f'''(t) ungleich 0 haben. Und da die hier gegebene Funktion ja schon f' entspricht, muss ich nur noch f' und f'' bilden. Die sind auch schon angegeben, aber ich verstehe leider überhaupt nicht, wie man darauf kommt. Könnte mir jemand, das einmal ganz aufgedröselt erklären?

Und das gleich 0 setzen bekomme ich auch nicht hin *schäm*.

Ich weiß, hier gibt es wahrscheinlich schon  ziemlich viele Fragen zu der Aufgabe, aber ich krieg es echt gar nicht hin...

 

Schon mal für die Hilfe!

Answer 1

f(x) = 35·(1 - e^{- 1/50·t})^2 = - 70·e^{- 0.02·t} + 35·e^{- 0.04·t} + 35

f''(x) = 0.056·e^{- 0.04·t} - 0.028·e^{- 0.02·t} = 0

Substitution
z = e^{- 0.02·t}

0.056·z^2 - 0.028·z = 0

z = 1/2 ∨ z = 0

t = 50·LN(2) = 34.65735902

Comments

vielen Dank schon mal für deine Hilfe :) aber ich versteh leider immer noch nur Bahnhof...

Kannst du noch mal genau erklären, was du da jetzt gemacht hast? Warum hat man aufeinmal zweimal e?

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Warum hat man aufeinmal zweimal e?

Bei (...-....)^2 wird die binomische Formel eingesetzt. 
Jetzt klarer?
 

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Ah, ja okay, das macht Sinn :D

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also die Ableitungen habe ich jetzt hinbekommen, aber das gleich Null setzen immer noch nicht...

Warum machst du das mit f'' und warum setzt du e^-0.02t=z fest?

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Man kann solche gleichungen prima über substitution lösen.

z = e^{- 0.02·t}

z^2 = e^{- 0.04·t}

Answer 2

Alternative zur Substitution: Ausklammern nach Potenzregeln:

f''(x) = 0.056·e^{- 0.04·t} - 0.028·e^{- 0.02·t} = 0

0.028*e^{-0.02*t} (2*e^{-0.02t }- 1) = 0

e^{-0.02t} = 0 ist unmöglich.

 2*e^{-0.02t} - 1 = 0

 2*e^{-0.02t} = 1

e^{-0.02t} = 0.5         |ln

-0.02t = ln(0.5)

t = ln(0.5)/(-0.02) = 34.6574

Bitte nachrechnen und noch die Einheit von t ergänzen.

Comments

Ah, das kommt mir schon bekannter vor :) ich versuchs mal. Die Einheit von t ist Jahre.

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Danke, hab es nachgerechnet und kann es nachvollziehen. Jetzt muss ich nur noch hoffen, dass ich auf sowas im Abi auch selber komme...

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Viel Glück dann!

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Ich habe ein Problem mit dem folgenden Rechenschritt, in dem du ausklammerst.

Laut deiner Rechnung gilt doch folgendes, wenn ich das richtig verstehe:

e^-0.02t*e^-0.02t = e^-0.04t

1 / e^0.02t*e^0.02t = 1 / e^0.04t

Ich weiß auch, dass deine Rechnung stimmt, aber ich kann das selbst durch umformen nicht nachvollziehen.
0.02t*0.02t ist doch 0.004t^2

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.


P.S. Ich hoffe duzen war okay :D

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Du meinst 

e^-0.02t*e^-0.02t = e^-0.04t

1 / ( e^0.02t*e^0.02t) = 1 / e^0.04t

und das stimmt.

Betrachte

2^3 * 2^3 = (2*2*2)(2*2*2) = 2^6 

Da ist 6 = 2*3 und nicht 3^2.

Grundlagen zum Pontenzrechnen vgl. auch folgendes Video: https://www.matheretter.de/wiki/potenzen