DGL: Trennung der Variablen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie mit Hilfe der Trennung der Variablen folgende DGL:

xy'+y=0

Problem/Ansatz:

Also, mit der Trennung selbst habe ich jetzt kein Problem, vielmehr mit der Konstante..

Ich gehe einmal ab dem Punkt durch, wo die beiden Integrale gelöst werden müssen:

$$-\int \limits_{}^{}\frac{1}{y}=\int \limits_{}^{}\frac{1}{x}$$

$$-ln(|y|)=ln(|x|)+C$$

$$ln(|y|)=-ln(|x|)-C \text{  (muss/darf ich hier das Vorzeichen der Konstante ändern?)}$$

$$|y|=-ln(|x|)-C$$

$$|y|=|x^{-1}|*e^{-C}$$

$$y=-\frac{C}{x}$$

Diese Lösung ist jedoch falsch, das Ergebnis muss stattdessen positiv sein. Liegt das daran, dass ich bei der Integrationskonstante das Vorzeichen nicht ändern darf?

Integriere ich stattdessen über:

$$\int \limits_{}^{}\frac{1}{y}=-\int \limits_{}^{}\frac{1}{x}$$

so komme ich auf das richtige Ergebnis, also y=\( \frac{C}{x} \)

Answer 1

Wenn du eine neue Konstante c = -C definierst, bist du bei der Musterlösung. Sowas hast du vorher ja auch schon (unter Überspringung eines Zwischenschrittes) gemacht.

Wenn du beidseitig \(-\frac{1}{y}=\frac{1}{x}\) integrierst, erhältst du auf BEIDEN Seiten eine Konstante:

\(-ln(|y|)+c_1=ln(|x|)+c_2\).

Dann kann man eine der beiden Konstanten wegsubtrahieren und \(c_3\) (oder C) als

\(c_2-c_1\) definieren.

Du hast beim Aufschreiben nochmal geschlampt.

Erstens hast du aus \(e^{-C}\) einfach C gemacht (richtig wäre, dass du \(e^{-C_3}\) als neue Konstante C_4 definierst,

dann hast du einfach so die Betragsstriche weggelassen.

Aus |a|=|b| folgt nicht a=b, sondern a=±b.

Dass sich das am Ende wieder aufhebt, weil die Konstante C sowohl positiv als auch negativ gewählt werden kann, ist dein Glück.

Comments

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort. Das mit den beiden Konstanten zusammenfassen habe ich auch gemacht, jedoch übersprungen aufzuschreiben. Wie würde der Rechenweg denn richtig aussehen, wenn man die Beträge korrekt auflösen würde?

Answer 2

Hi,

Deine Zeile nach Deiner Frage stimmt nicht. Du musst schon bei beiden Seiten e berücksichtigen. Aber stimmt ja dann wieder. Wohl nur vergessen zu schreiben.

Wegen dem Vorzeichen mach Dir keine Sorgen. Üblich ist es eine unschöne Konstante (negatives Vorzeichen) neu zu benennen. Du kannst also einfach -C = D setzen und bist bei der gewünschten Musterlösung. Das hast Du davor sogar selbst einmal gemacht. Für jede Seite/Integral kommt eine Konstante hinzu, die Du zu +C auf der rechten Seite zusammengefasst hast ;).

Grüße

Comments

Alles klar, vielen Dank!