Aloha :)
Zuerst sollst du die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Werfen eines Würfels betrachten. Das heißt, dir sind alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperimentes und die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt. Jede der 6 möglichen Augenzahlen \((x_1=1;x_2=2;\ldots; x_6=6)\) fällt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit \(p_k=\frac16\).
Du kannst daher den exakten Erwartungswert \(\mu\) berechnen:$$\mu=\sum\limits_{k=1}^6p_k\cdot x_k=\frac16\cdot1+\frac16\cdot2+\frac16\cdot3+\frac16\cdot4+\frac16\cdot5+\frac16\cdot6=3,5$$
Die zugehörige Varianz \(\sigma^2\) ist nun:$$\sigma^2=\sum\limits_{k=1}^6p_k\cdot(x_k-\mu)^2=\frac16\cdot(1-3,5)^2+\ldots+\frac16\cdot(6-3,5)^2=2,91\overline6$$
Bei einer Stichprobe kennst du nicht alle möglichen Ergebnisse und auch nicht deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Stattdessen wiederholst du das Zufallsexperiment \(N\)-mal und notierst die Ergebnisse \(x_1;\ldots; x_N\). Jedem dieser Ergebnisse ordnest du dieselbe Wahrscheinlichkeit \(p_k=\frac1N\) zu. An Stelle des exakten Erwartungswertes \(\mu\) tritt nun der Mittelwert \(\overline x\) der Stichprobe.
In unserem Fall ist \(N=5\) und der Mittelwert lautet:$$\overline x=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N x_k=\frac{1}{5}\left(1+1+1+6+5\right)=2,8$$
Die zugehörige Stichproben-Varainz ist nun:$$s^2=\frac{1}{N\pink{-1}}\sum\limits_{k=1}^N\left(x_k-\pink{\overline x}\right)^2=\frac14\cdot(1-2,8)^2+\ldots+\frac14\cdot(5-2,8)^2=6,2$$
Der Mittelwert \(\pink{\overline x}\) ist nur eine Näherung für den exakten Erwartungswert \(\mu\). Die Abweichung pflanzt sich in die Berechnung der Stichproben-Varainz \(s^2\) fort. Durch die pinke \(\pink{-1}\) im Nenner wird dieser Effekt in der Varianz berücksichtigt.
