Warum muss bei der hinreichenden Bedingung die dritte Ableitung größer/kleiner 0 sein

Question

Frage zur dritten Ableitung, hinreichende Bedingung.

Mein Verständnis:

Dritte Ableitung ist die Steigung der Krümmung. Wenn die dritte Ableitung an der Stelle der maximalen Steigung, also dort, wo Krümmung = 0 ist, = 0 ist, gibt es keinen Übergang von Konvex zu Konkav oder andersherum. Denn, dass würde bedeuten, dass die maximale/minimale Krümmung gerade dort erreicht wird, wo die Krümmung = 0 ist und somit entweder nur geringer Krümmungswerte als 0 gibt oder größere als 0 gibt oder alle Krümmungswerte = 0 sind (also Steigung wäre dann konstant). Für ein Übergang einer Links-Rechts-Krümmung muss deshalb die Ableitung kleiner 0 sein, denn dann ist die Steigung der Krümmung negativ, was der Fall ist bei einer LR-Krümmung. Zuerst steigt die Steigung (positive Krümmung) und dann fällt die Steigung (negative Krümmung).

Comments

Gegenbeispiel: ƒ(x) = x⁵.

---

Hat das nicht etwas mit dem Sattelpunkt zu tun, die jede Funktion x^(2n-1) mit n Element natürliche Zahlen hat. Kannst du meine Frage beantworten?

---

Das Beispiel zeigt nur, dass die dritte Ableitung nicht größer oder kleiner als 0 sein muss. Sie kann auch 0 sein. Das ist nur eine hinreichende Bedingung. Das bedeutet, wenn die dritte Ableitung ungleich 0 ist, dann liegt ein Wendepunkt vor. Das bedeutet aber nicht, dass wenn ein Wendepunkt vorliegt, auch die dritte Ableitung ungleich 0 ist. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit Steigung 0.

Answer 1

Überlege dir einfach mal folgendes: Wenn die dritte Ableitung ungleich 0 ist, hat die erste Ableitung einen Extrempunkt (vorausgesetzt die notwendige Bedingung ist erfüllt). Wenn die erste Ableitung einen Hochpunkt hat, bedeutet das, dass die Steigung maximal wird. Sie steigt also vorher an, was bedeutet, dass die zweite Ableitung positiv ist (linksgekrümmt) und nimmt dann wieder ab, was bedeutet, dass die zweite Ableitung negativ ist (rechtsgekrümmt). Weil ein Hochpunkt der ersten Ableitung vorliegt, ist die dritte Ableitung (hinr. Bed. für Extrempunkte) negativ und es liegt ein Wechsel von einer Links- zur Rechtskrümmung vor. Analog der andere Fall.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Answer 2

Frage zur dritten Ableitung, warum muss die dritte Ableitung größer sein als 0 für einen RL-Wendepunkt und kleiner 0 für einen LR-Wendepunkt?

Schon die Frage ist so gestellt das man merkt das du noch Lücken im Verständnis hast.

Ist f''(x) = 0 und f''(x) > 0 dann hat f''(x) eine Nullstelle mit VZW von minus nach plus und damit einen R-L-Krümmungswechsel.

Ist f''(x) = 0 und f''(x) < 0 dann hat f''(x) eine Nullstelle mit VZW von plus nach minus und damit einen L-R-Krümmungswechsel.

Wenn f''(x) = 0 ist, macht die dritte Ableitung keine Aussage über den VZW. D.h. es könnte dann ein R-L-, L-R- oder auch gar kein Krümmungswechsel sein. In diesen Fällen muss man das VZW-Kriterium zur Überprüfung nehmen.

Aus dem Grund verstehe ich nicht, warum Lehrer meist darauf bestehen die 3. Ableitung zu bilden und nicht gleich das VZW-Kriterium empfehlen.

Comments

PS: Für die, denen es nicht bekannt ist. VZW bedeutet Vor-Zeichen-Wechsel.

---

In diesen Fällen muss man das VZW-Kriterium zur Überprüfung nehmen.

Das ist so nicht ganz korrekt. Alternativ kann man auch höhere Ableitungen betrachten.

---

Stimmt, ich bin auseinandergekommen bei den Gedanken über Steigung, Krümmung und Steigung der Krümmung und Zusammenhang über Integrieren.

---

Das ist so nicht ganz korrekt. Alternativ kann man auch höhere Ableitungen betrachten.

Stimmt. Das ist ja aber noch aufwendiger als gleich das VZW-Kriterium zu bemühen.

Sonderfälle, dass alle folgenden Ableitungen eh null sind, mal ausgenommen.

---

Stimmt, ich bin auseinandergekommen bei den Gedanken über Steigung, Krümmung und Steigung der Krümmung und Zusammenhang über Integrieren.

Ich glaube, wenn du das so wie in deiner Frage oben einer Klasse mit 100 Schülern vortragen würdest, würden 100 raus sein.

Wenn irgendeine Funktion f(x) eine Nullstelle hat dann ist f'(x) die Steigung an der Nullstelle und die gibt damit ja eigentlich nur den Vorzeichenwechsel an der Nullstelle an. Oder zumindest solange f'(x) nicht 0 ist, denn wenn f'(x) = 0 ist wäre die Steigung dort null und das sagt leider nichts über einen Vorzeichenwechsel aus.

Answer 3

Aloha :)

Dritte Ableitung ist die Steigung der Krümmung.

Das ist falsch. Die Krümmung einer Funktion an der Stelle \(x\) ist:$$\kappa=\frac{f''(x)}{\left(1+(\,f'(x)\,)^2\right)^{3/2}}$$Der Kehrwert \(\left(r=\frac{1}{\kappa}\right)\) ist der Radius des Kreises, den du "am besten" in diese Krümmung reinlegen kannst. Da der Nenner der Krümmung immer größer gleich \(1\) ist, wird das Vorzeichen der Krümmung allein durch den Zähler, also durch die zweite Ableitung \(f''(x)\) bestimmt.

Daher gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung an, ob es sich um eine links- oder rechtsgekrümmte Kurve handelt. Eine Aussage über die Stärke der Krümmung allein auf Basis der zweiten Ableitung ist nicht möglich.

An einem Wendepunkt \(x_0\) muss die Krümmung ihr Vorzeichen ändern, also muss \(f''(x_0)=0\) gelten. Wenn zusätzlich die dritte Ableitung \(f'''(x_0)\ne0\) an dieser Stelle ungleich Null ist, weißt du sicher, dass bei \(x_0\) die zweite Ableitung keine waagerechte Tangente hat. Also muss sie, wegen \(f''(x_0)=0\) die x-Achse schneiden. Das entspricht einem Vorzeichenwechsel.