Hinreichenden Bedingung für lokale Extrema

Question

ich habe einer Frage zur Hinreichenden Bedingung für lokale Extrema.

Wir haben die Aussage so formuliert

$$ \text{ sei }  f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R} \text {  eine zweifach differenzierbare Funktion und } c \in (a,b) $$

$$ \text { ist }   f´(c) = 0 \text{ und } f´´(c) < 0, \text{  so ist c ein lokales Maximum} $$

$$ \text {  ist } f´(c) = 0   \text{ und } f´´(c) > 0, \text{  so ist c ein lokales Minimum} $$

Meine Frage nun: warum diese Einschränkung auf offene Intervalle, kann ich die Aussage nicht auch auf abgeschlossene Intervalle anwenden? Mir ist leider kein Gegenbeispiel eingefallen, vielleicht hat jemand von euch eines.

LG

Answer 1

Wenn das Intervall abgeschlossen wäre, müsste man wohl etwas anders formulieren; denn wenn

c einer der Randpunkte des Intervalls ist, dann ist ja keine

Differenzierbarkeit in c definiert.

Comments

Hallo, danke für deine Antwort, ich sehe aber leider noch nicht ganz wo das Ganze dann kaputt geht. Wir haben Differenzierbarkeit so definiert.

$$ \text{  Es sei } U \subset \mathbb{R}, f: U \rightarrow \mathbb{R} \text { eine Funktion und }$$

$$a \in U. $$

$$ \text{ f heißt differenzierbar in } a \in U$$

$$\text{ wenn a ein Häufungspunkt von U ist und der Grenzwert des Differenzenquotienten } $$

$$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ f(x)-f(a)}{x-a}  \text{ in a existiert }$$

Nach dieser Definition kann a ja auch ein Randpunkt sein, denn ich könnte mit dem Folgenkriterium für Grenzwerte von Funktionen zeigen, dass der Grenzwert existiert, oder irre ich mich?

LG

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Kein Zusatz, dass U etwa offen sein muss ?

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Nein, bei uns ist $$ U \subset \mathbb{R} $$ tatsächlich nur eine Teilmenge der reellen Zahlen, außer natürlich es handelt sich um einen Druckfehler im Skript, aber diese Notation taucht immer wieder auf. Es wird lediglich gefordert, dass a ein Häufungspunkt von U ist.

LG

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Dann liegt der Grund vielleicht in dem Beweis, da man da ja wohl irgendwie mit dem

Mittelwertsatz argumentiert und um das c eine Umgebung braucht, in der f definiert ist.

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Ja ich denk du hast Recht: Im Beweis wird angenommen, dass c ein innerer Punkt ist!

Vielen Dank!