Wie überprüft man am Ende die hinreichenden Bedingungen?

Question

Aufgabe:

Ein Möbelhersteller produziert a Tischplatten (rechteckig), b Tischbeine (dreikantig), c Hockersitzplatten (kreisförmig) und d Hockerbeine (rund). Ein Tisch wird gefertigt aus einer Tischplatte und vier Tischbeinen, ein Hocker aus einer Hockerplatte und drei Hockerbeinen. Die Mengen a, b, c, d sind so zu wählen, dass sich nur vollständi- ge Möbelstücke ergeben. (Hinweis: Daraus ergeben sich zwei Nebenbedingungen). Die Erlösfunktion ist gegeben durchE(a, b, c, d) = 2a2 + 16a − \( \frac{1}{4} \) b2 − c2 + 6d.Bestimmen Sie mit Hilfe der Eliminationsmethode die Maximalstelle und den Maximal-wert der Erlösfunktion. Überprüfen Sie auch die hinreichende Bedingung.Hinweis: Nach der Elimination ergibt sich eine Funktion von zwei Variablen.

Problem/Ansatz:

Wie überprüft man hier die hinreichenden Bedingungen?

Answer 1

NB Tisch: b = 4a (für einen Tisch vier Beine)

NB Hocker: d = 3c (für einen Hocker drei Beine)

E(a,b,c,d) = 2a^2 + 16a - 1/4 b^2 - c^2 + 6d

E(a,c) = 2a^2 + 16a - 1/4 (4a)^2 - c^2 + 6(3c) = -c^2 + 18 c - 2 a^2 + 16 a

Notwendige Bedingungen für eine Extremstelle:

\( \frac{E(a,c)}{da}  = -4a + 16 \)  = 0 für a = 4

\( \frac{E(a,c)}{dc}  = -2c + 18 \) = 0 für c = 9

Extremstelle E(a,c) = 113 bei (4,9)

Hinreichende Bedingung:

\( \frac{E(a,c)}{da^2}  = -4 \)

\( \frac{E(a,c)}{dc^2}  = -2 \)

Da die beiden zweiten Ableitung negativ sind, liegt an der Stelle (4,9) ein lokales Maximum.