Den Mittelwert einer Funktion \(f\) auf dem Intervall \([a,b]\) ist der Wert derjenigen konstanten Funktion, die auf dem Intervall \([a,b]\) das gleiche Integral wie \(f\) hat.
Für die Funktion m(x) = c soll also
\(\int_a^b m(x)\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
gelten. Dazu muss
\([c\cdot x]_a^b = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
und somit
\(c\cdot b - c\cdot a = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
sein. Ausklammern von \(c\) liefert
\(c\cdot (b - a) = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
also
\(c = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\).