Aufgabe (Stichprobenumfang):
Seien \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) unabhängig Bernoulli-verteilt zum (unbekannten) Parameter \( p \in(0,1), S_{n}= \) \( X_{1}+\ldots+X_{n} \) sowie \( \sigma_{n} \) die Standardabweichung von \( S_{n} \).
Ziel ist die Bestimmung von \( n \), sodass die Abweichung vom Mittelwert ein gewünschtes Level mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschreitet.
(a) Bestimmen Sie \( z \) jeweils so, dass \( \mathbb{P}\left(\left|S_{n}-n p\right| \leq z \sigma_{n}\right)=u \) für
(i) \( u=0.95 \),
(ii) \( u=0.9 \),
(iii) \( u=0.8 \).
(b) \( z \) aus (a) sei als bereits ermittelt angenommen. Begründen Sie, dass zu gegebenem \( l>0 \)
\( \mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n} S_{n}-p\right| \leq l\right)=u \)
erfüllt ist, wenn \( n, l, z \) und \( p \) zusammenhängen via
\( n=\left(\frac{z}{l}\right)^{2} \cdot p(1-p) \)
(c) Welchen Wert kann \( p(1-p) \) maximal annehmen? Berechnen Sie für die Werte \( u \) aus (a) und \( l=0.02 \) das \( n \) so, dass
\( \mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n} S_{n}-p\right| \leq l\right)=u \)
