warum muss man bei der Formel für die bestimmung von Mittelwerten von Funktionen b-a rechnen muss?

Question

Kann mir jemand erklären warum man bei der Formel für die bestimmung von Mittelwerten von Funktionen b-a rechnen muss?

Verstehe nicht so ganz wie ich die Formel hier rein schreiben kann P:

Comments

Der Mittelwert m einer Funktion f auf dem Intervall [a , b] ist diejenige Höhe, die ein Rechteck haben muss, damit sein Flächeninhalt über dieser Grundseite genauso groß ist wie der (gerichtete, also mit Vorzeichen behaftete) Flächeninhalt unter dem Graphen von f, und die Länge dieser Rechtecks-Grundseite ist eben (b-a).

Also (b-a) * m =  _a∫^b f(x) dx.

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Interessant ist übrigens, wenn man das Integral mithilfe der Stammfunktion schreibt das dann gilt

$$m = \frac{\int \limits_{a}^{b} f(x)\text{ dx}}{b - a} = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}$$

Evtl. kommt dir die Formel bekannt vor, denn für die Sekantensteigung m in dem Intervall [a, b] gilt:

$$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Von daher sind beide Formeln gerade im Zusammenhang sehr leicht zu merken.

So ist also der mittlere Funktionswert einer Funktion über dem Intervall [a, b] die mittlere Sekantensteigung der Stammfunktion über dem Intervall [a, b].

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Ist dieses Minus angegeben oder warum könnte es nicht b+a bzw a-b oder a+b sein.

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Es geht um die Breite des Rechtecks. Und wenn der x-Wert b größer ist als der x-Wert a, dann ist diese Breite b-a.

Wieso sollte man auf die unsinnige Idee kommen, a+b zu rechnen?

Wenn das Intervall von a=2 bis a=9 geht, dann ist die Intervallbreite

9-2= 7 (und nicht 9+2=11).

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Ja das Problem ist, dass ich einen Vortrag zur Herleitung präsentieren muss und sicherlich die Frage warum (b-a) gestellt werden wird und ich weiß einfach nicht wie ich es einfach erklären soll damit es jeder versteht ( Basiskurs ) und vielen fällt es schon schwer allgmein Mathe zu verstehen

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Das hat Gast hj2166 doch oben sehr schön erklärt. Man sucht die Höhe ein über dem Intervall liegenden Rechtecks, welches den gleichen gerichteten Flächeninhalt besitzt, wie des gerichteten Flächeninhalts welcher sich zwischen der Funktion und der x-Achse befindet.

Die Grundseite des Rechteck über dem Intervall [a, b] ist allerdings genau b - a. Kannst du das evtl. in der Skizze nachvollziehen?

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warum könnte es nicht b+a bzw a-b oder a+b sein

Dass es keine Addition sein kann hat MC ja schon diskutiert. Die Frage nach a-b sollte man aber etwas genauer untersuchen.

In meiner Skizze oben ist b>a und die Länge des Intervalls ist b-a > 0. Die Integrationsrichtung bei  _a∫^b ist wie üblich von links nach rechts. Wenn man nun mit a-b rechnen würde, dann wäre das nicht schlimm, denn einerseits ist a-b = -(b-a), aber andererseits wird das gerade durch _b∫^a = -_a∫^b kompensiert : Ändern der Integrationsrichtung ändert das Vorzeichen des Ergebnisses.

Wenn b<a ist, dann ist die Intervall-Länge zwar a-b, aber gemäß der Überlegungen oben kann auch hier mit b-a und _a∫^b gerechnet werden.

Den Fall a=b überlegst du dir bitte selbst.

Answer 1

Den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Wert derjenigen konstanten Funktion, die auf dem Intervall $[a,b]$ das gleiche Integral wie $f$ hat.

Für die Funktion m(x) = c soll also

        $\int_a^b m(x)\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

gelten. Dazu muss

        $[c\cdot x]_a^b = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

und somit

        $c\cdot b - c\cdot a = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

sein. Ausklammern von $c$ liefert

        $c\cdot (b - a) = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$

also

        $c = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$.