Sei X exponentialverteilt mit P(X 1) Was ist die Varianz von X?

Question

Sei X exponentialverteilt mit P(X < 1) = 2P(X >1) Was ist die Varianz von X ?

Answer 1

Benutze die Dichtefunktion $f(x)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}$ und die Definition von $P(X\leq x)$ und löse die Gleichung $P(X<1)=2P(X>1)$, also

$\int_0^1 \!\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 2 \int_1^\infty \!\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \,\mathrm{d}x$

und bestimmte den Parameter $\lambda$. Die Formel für die Varianz kennst du hoffentlich. Ansonsten schlage sie nach.

Answer 2

Du solltest statt mit der Dichtefunktion und die zu Integrieren gleich mit der bekannten Verteilungsfunktion rechnen. Das ist deutlich einfacher

P(X < 1) = 2·P(X >1)

F(1) = 2·(1 - F(1))

...

Ich komme damit auf eine arg gerundete Varianz von ca. 0.8. Du solltest am besten nicht runden und sogar die Varianz als Term angeben. Es macht nichts, wenn in dem Term ein Logarithmus und ein Quadrat drin vorkommt. Mathematiker lassen das einfach so stehen.