Kombinatorik / Mengenalgebra, recht lange Formel

Question

also ich müsste wissen, ob

$$|K| = |K \cap L| + |K \cap L \cap F| + |K \cap F| + |K \setminus ( L \cup F )|$$

wahr ist.

1. Frage: Kann man dazu auch $$ K = ( K \cap L ) \cup ( K \cap L \cap F ) \cup ( K \cap F ) \cup ( K \setminus ( L \cup F ) )$$ zeigen? Folgt daraus dann Ersteres?

2. Frage: Ich brauche keinen strengen Beweis. Wolfram Alpha sagt ja: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28K+intersect+L%29+union+%28K+intersect+L+intersect+F%29+union+%28K+intersect+F%29+union+%28+K+intersect+%28+L+union+F+%29%27+%29

Kann ich dem vertrauen? ^^


Danke,

Thilo

Answer 1

Also ich müsste wissen, ob$$|K|=|K∩L|+|K∩L∩F|+|K∩F|+|K∖(L∪F)|$$wahr ist.

Nein, das ist im Allgemeinen falsch.

Einfaches Gegenbeispiel:

K = {1,2,3} , L = {2,3,4} , F = {3,4,5}

=>

K∩L = {2,3} , | K∩L | = 2

K∩L∩F = {3} , | K∩L∩F | = 1

K∩F = {3} , | K∩F | = 1

K\(L∪F) = {1} , | K\(L∪F) |= 1

=>

| K | = 3 ≠ | K∩L | + | K∩L∩F | + | K∩F | + | K\(L∪F) | = 2 + 1 + 1 + 1 = 5

Und das obwohl die Aussage:

$$K=(K∩L)∪(K∩L∩F)∪(K∩F)∪(K∖(L∪F))$$

korrekt ist.

Das liegt daran, dass bei der Vereinigung von Mengen solche Elemente, die in mehreren der zu vereinigenden Mengen enthalten sind, in der Vereinigungsmenge nur einmal auftreten. Bei der Addition der Beträge der Mengen aber werden gleiche Elemente mehrfach gezählt. Daher ist im Allgemeinen die Summe der Beträge von Mengen größer als der Betrag der Vereinigungsmenge dieser Mengen.