Wie errechne ich Grenzwert?

Question

My

Wie berechne ich hier den Grenzwert? Ich habe als Ergebnis 0 raus, ein Kommilitone jedoch e^2/3 

Text erkannt:

(c) \( a_{n}:=\frac{(3 n+1)^{2 n}-3 n}{9^{n} \cdot n^{2 n}} \) Hinweis: Eulersche Zahl

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Formuliere den Nenner wie folgt um:$$9^n\cdot n^{2n}=(3^2)^n\cdot n^{2n}=3^{2n}\cdot n^{2n}=(3n)^{2n}$$

Dann kannst du den Folgenterm wie folgt umformen:$$a_n=\frac{(3n+1)^{2n}-3n}{9^n\cdot n^{2n}}=\frac{(3n+1)^{2n}-3n}{(3n)^{2n}}=\frac{(3n+1)^{2n}}{(3n)^{2n}}-\frac{3n}{(3n)^{2n}}$$$$\phantom{a_n}=\left(\frac{3n+1}{3n}\right)^{2n}-\frac{1}{(3n)^{2n-1}}=\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}-\frac{1}{(3n)^{2n-1}}$$$$\phantom{a_n}=\left(1+\frac{\pink{\frac23}\cdot 1}{\pink{\frac23}\cdot3n}\right)^{2n}-\frac{1}{(3n)^{2n-1}}=\left(1+\frac{\frac23}{2n}\right)^{2n}-\frac{1}{(3n)^{2n-1}}$$

Wegen \(\left(1+\frac xn\right)^n\to e^x\) kannst du daraus den Grenzwert ablesen:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=e^{\frac23}-0=\sqrt[3]{e^2}$$

Dein Kommilitone hat offenbar ein falsches Ergebnis ermittelt.

Answer 2

Dann hat dein Kommilitone vermutlich erkannt, dass

 \( \frac{(3 n+1)^{2 n}}{9^{n} \cdot n^{2 n}} \) 

als \( \frac{(3 n+1)^{2 n}}{(3n)^{2 n}} \) und demzufolge als \( (1+\frac{1}{3n})^{2 n} \) geschrieben werden kann.