Du kennst ja die Definition der eulerschen Zahl, nämlich
\(\begin{aligned} e=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} .\end{aligned} \)
Somit ergibt sich für deinen Grenzwert
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}=\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}=e^{2} .\end{aligned}\)
wobei wir den Limes reinziehen konnten, da \( x^{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion ist.
Das zweite Beispiel in den Kommentaren ist ebenso einfach:
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(n+1) !}{n !}\right)^{n} \cdot\left(\frac{1}{n+2}\right)^{n} &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(n+1)^{n} \cdot\left(\frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n+2}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \cdot\left(\frac{n}{n+2}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} \\ &=e \cdot \frac{1}{e^{2}}=\frac{1}{e} \end{aligned} \)
In (1) haben wir das Multiplikationsgesetz für Grenzwerte verwendet, da beide Faktoren konvergieren. Für den zweiten Faktor gilt:
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{2 m}\right)^{2 m}=\left(\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}\right)^{2}=\frac{1}{e^{2}}\end{aligned} \)
was sich durch den Variablenwechsel \( n=2 m \) ergibt, wobei sich das Verhalten im unendlichen nicht ändert.
