Eulersche Zahl. Berechnen Sie folgenden Grenzwert

Question

Wir haben eine Aufgabe bekommen und ich komme nicht weiter. Bei dieser Aufgabe sollen

wir Grenzwert berechnen.

Das sind die Werte die wir bekommen haben:

 $$\lim_{n \to \infty } n^{9+1} \left(\frac{n-1}{3n} \right)^{2n}$$

Zuerst habe ich die Klammer betrachtet :$$\lim_{n \to \infty }\frac{n-1}{3n} = 1/3$$

Wie soll ich denn das 9^{n+1} bearbeiten ?

Und das ^2n ?

Kann mir jemand sagen wie ich weiter rechnen soll ?

Oder Rechenschritte zeigen die zum Ergebnis führen ?

Ich muss auf dieses Ergebnis kommen

$$9 / e^2$$

Vielen Dank im voraus !!

Answer 1

" Zuerst habe ich die Klammer betrachtet :... "

Das darfst du nicht. Du musst so lange umformen, bis du n auf einen Schlag in der Klammer und im Exponenten wegbringst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

und

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

Zeigt dir, wie du den Term so hinbringst, dass 9exp(-2) = 9e^{-2} = 9/e^2 rauskommt.

"Wie soll ich denn das 9^{n+1} bearbeiten ?" 

Beachte, dass du zuerst n^{9+1} geschrieben hattest. Das ist etwas anderes.  

Comments

Tipp: Schau mal hier

https://www.mathelounge.de/280474/konvergenz-und-grenzwert-von-folgen-eulersche-folgen

und bei den verlinkten Aufgaben.

Für weitere Rechnungen bitte Fragestellung nochmals genau angeben.

Answer 2

Ich forme erst mal um und beachte lim noch nicht.

9^{n+1} ( (n-1)/(3n))^{2n}

= 9 * 9^n ((n-1)/(3n))^{2n}

= 9* 3^{2n}((n-1)/(3n))^{2n}

= 9* ((3(n-1))/(3n))^{2n}

= 9*((n-1)/n)^{2n}

= 9* (( 1 - 1/n)^n)^2

= 9 ((1 + (-1)/n))^n) ^2

Jetzt n--> unendlich gehen lassen und ab hier lim nicht mehr schreiben.

------>  9 *( e^{-1})^2

= 9 * e^{-2}

= 9 / e^2 

Bitte Klammern ... selber kontrollieren. 

Answer 3

wird wohl 9ⁿ⁺¹ als Faktor gewesen sein.Dann forme mal was um:$$  { 9 }^{ n+1 }{( \frac { n-1 }{ 3n }) }^{ 2n }$$
$$ = { 9 }^{ n+1 }{( \frac { 1-\frac { 1 }{ n } }{ 3 }) }^{ 2n }$$
$$ = {\frac{{ 9 }^{ n+1 }}{3^{2n}}}{(  (1-\frac { 1 }{ n })^n )^{2} }$$
$$ = {\frac{{ 9 }^{ n+1 }}{9^{n}}}{(  (1-\frac { 1 }{ n })^n )^{2} }$$
$$ = 9{(  (1-\frac { 1 }{ n })^n )^{2} }$$

Und die innere Klammer hoch n geht gegen 1/e .Und der Rest: Grenzwertsätze, also

9* 1 / e²