Sei f:(a,b) -->ℝ eine stetige Funktion mit f(x_0)>ε für ein ε>0 und x_0∈(a,b). Zz zeigen: Es gibt ein offenes Intervall "I", mit x_0∈I⊂(a,b) und f(x)>ε/2 ∀x∈I
Also ich hätte es so gezeigt: f ist stetig, also gilt: ∀ε>0∃δ>0∀x∈ (a,b):|x-x_0|<δ ⇒|f(x)-f(x_0)|<ε. Wir müssen ein spezifisches ε´ wählen, dass uns hilft unser Ziel zu erreichen. ε/2 wäre eine gute Wahl, denn, wenn f(x_0)>ε gilt dann auch f(x_0)>ε/2. Also sagen wir ε´=ε/2 und wenden die Definition der Stetigkeit an. Diese besagt, dass es ein δ gibt, sodass für jedes x in (x_0-δ, x_0+δ) gilt: |f(x)-f(x_0|<ε/2. (Betrachten wir die linke Seite) Umgeformt ergibt sich -ε/2<f(x)-f(x_0)<ε/2 ⇔-ε/2+f(x_0)<f(x). Weil f(x_0)>ε ⇒f(x)>ε-ε/2=ε/2. Also es gibt ein δ>0, sodass für das offene Intervall I=(x_0-δ,x_0+δ) die Bedingung f(x)>ε/2 ∀x∈I erfüllt.
Ist der Beweis so korrekt?
