Wie ermittelt man die Anzahl der möglichen Spielkombinationen?

Question

Ein Schachturnier soll veranstaltet werden. Es treten zwölf Spieler an - es sind jedoch nur sechs Bretter vorhanden. Jede Gegnerpaarung soll nur einmal vorkommen. Zusätzlich gilt die Einschränkung, dass jedes Brett nur einmal von jedem Spieler genutzt werden darf.

Wie ermittelt man die Anzahl der möglichen Spielkombinationen ?

Comments

Es sind 6 Paarungen gesucht.

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Es sind 6 Paarungen gesucht.

Danke für die Richtigstellung. Ich war doch tatsächlich zuerst davon ausgegangen, es sei die Anzahl der möglichen Spielkombinationen gesucht.

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Was ist eine Spielkombination?

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Ich fürchte, die Frage wurde nicht korrekt aufgefasst:

Spieler 1 spielt an Brett A mit Spieler 2

Spieler 3 spielt an Brett B mit Spieler 4

Spieler 5 spielt an Brett C mit Spieler 6

Spieler 7 spielt an Brett D mit Spieler 8

Spieler 9 spielt an Brett E mit Spieler 10

Spieler 10 spielt an Brett Fmit Spieler 12

Doch das sind nicht alle möglichen Besetzungen - denn

Spieler 1 spielt an Brett B mit Spieler 6

Spieler 3 spielt an Brett C mit Spieler 8

Spieler 5 spielt an Brett D mit Spieler 10

...

undsoweiter ...

wie lässt sich dieser Zusammenhang so formulieren, dass man bei größeren Zahlen nicht auf eine Rauhfasertapetenrolle angewiesen ist, um alle Möglichkeiten aufzuschreiben ? ? ?

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Hallo

Wie läuft das Turnier ? mit KO System also einmal verloren und man ist raus, oder jeder gegen jeden, das geht nicht mit nur 1 Brett pro Spieler.

lul

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Ich verstehe das so:

Es werden 6 Runden a 6 Spiele gespielt. Also insgesamt 36 Spiele. Dabei sind die obigen Einschränkungen zu machten.

Also wenn Spiele 1 gegen Spieler 2 in der ersten Runde an Brett 1 spielen. Dann dürfen beide Spieler in allen weiteren Runden nicht mehr an Brett 1 spielen und auch nicht mehr gegeneinander.

Ich denke aber das ist in der Frage oben doch eigentlich schon gut beschrieben.

Also ich denke Dodala Duhananda hat das System der Aufgabe schon sehr gut verstanden. Dazu erstmal meine Glückwünsche, weil das nicht selbstverständlich ist.

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Die Kombinationsmöglichkeiten sind vom Spielergebnis unabhängig.

Es ist ja nicht nur ein Brett pro Spieler - jeder Spieler darf jedes Brett benutzen - aber nur einmal im Turnier.

Jeder Spieler darf (grundsätzlich) gegen jeden anderen spielen - aber eben nur einmal.

Wenn S1 an Brett A mit S2 gespielt hat, dann darf S1 nicht mehr an diesem Brett A spielen und auch nicht mehr mit S2.

S2 darf aber auch nicht mehr an Brett A spielen - da war er ja schon mal.

In der nächsten Runde spielt S1 an Tisch B. Mit S2 war er schon zusammen, also braucht es einen anderen Spieler. S3 und S4 waren aber schon an Brett B - deswegen können die nicht mehr Gegener in dieser Runde sein. Der nächste noch nicht "verbrauchte" Spieler wäre S5 oder S6.

Aus Gründen des Überblickes lasse ich immer ungerade Spielernummern mit geraden spielen - am Ergebnis würde das aber nichts ändern. Obwohl - man könnte danach noch den Beweis führen, dass die Spielernummern keinen Einfluss auf die Menge der Kombinationsmöglichkeiten haben.

System klar geworden ?

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Und was ist eine Spielkombination?

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Der möglicherweise irreführende Begriff für das Zusammentreffen zweier Spieler an einem Brett.

In der obigen Liste einige Beispiele gepostet - verstehe nicht, was man da nicht verstehen kann ...

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verstehe nicht, was man da nicht verstehen kann ...

Die Antwort auf die Frage "Was ist eine Spielkombination" enthält üblicherweise die Worte "Eine Spielkombination ist ..."

Spieler 1 spielt an Brett A mit Spieler 2
Spieler 3 spielt an Brett B mit Spieler 4
Spieler 5 spielt an Brett C mit Spieler 6
Spieler 7 spielt an Brett D mit Spieler 8
Spieler 9 spielt an Brett E mit Spieler 10
Spieler 10 spielt an Brett Fmit Spieler 12

Laut deinem H'inweis "Zusammentreffen zweier Spieler an einem Brett" sind das sechs Spielkombinationen. Ohne diesen Hinweis hätte man das ebenso als eine einzige Spielkombination auffassen können.

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Ich bin davon ausgegangen, dass die üblichen Schulmatheaufgaben stets meinen, dass jede einzelne Kombination berücksichtigt werden soll und nicht Gruppierungen mehrerer Möglichkeiten.

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  Es werden 6 Runden a 6 Spiele gespielt. Also insgesamt 36 Spiele.

wie wurde das berechnet ?

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Eine Spielkombination ist meiner Meinung nach ein Spielplan der bestimmt, wann welcher Spieler in welcher Runde an welchem Brett auf einen anderen Spieler trifft.

Ich hoffe, das nennt man Spielplan.

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Es werden 6 Runden a 6 Spiele gespielt. Also insgesamt 36 Spiele.

wie wurde das berechnet ?

Wenn Spieler 1 an jedem Brett einmal spielt, macht Spieler 1 sechs Spiele oder nicht.

So macht jeder der 12 Spieler 6 Spiele. Das günstigste wäre dann doch 6 Runden a 6 Spiele zu spielen. Wobei in einer Runde eben alle Bretter mit 2 Personen besetzt sind.

Kommst du auf etwas anderes? Wenn ja wie?

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Also der Spielplan soll erstellt werden.

Dazu muss der Veranstalter vorher wissen, wieviele Partien durchgeführt werden können.

Die Bedingungen sind: Kein Spieler soll mehr als einmal mit dem gleichen Gegner eine Partie führen. Kein Spieler soll mehr als einmal am gleichen Brett spielen.

Die weitere Bedingung für den verallgemeinerten Fall mit einer beliebigen - allerdings geraden - Anzahl von Teilnehmern: Die Anzahl der Bretter beträgt genau die Hälfte der Teilnehmerzahl.

Wieviele Partien können bei 2n Spielern auf n Brettern gespielt werden ?

Die möglichen Kombinationen von Spielern und Brettern stehen dann auf dem Spielplan.

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@Dodala Duhananda

Kannst du denn die Anzahl möglicher Spielpläne für 2, 4, 6, 8 Spieler berechnen?

Ich denke, das solltest du locker schaffen.

Nochmals zur Definition.

Die möglichen Kombinationen von Spielern und Brettern stehen dann auf dem Spielplan.

Ich denke 1 Spielplan ist eine Spielkombination. Und nicht das die möglichen Kombinationen dann auf dem (einen) SSpielplan stehen.

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Also lassen wir das Wort "Spielplan" weg und stellen uns vor, gemeint wäre eine Liste, auf der die Spieler und ihr Spielbrett zusammengestellt stehen. Die Zeile "Spieler 1, Brett A, Spieler 2" ist beispielhaft ein Eintrag in dieser Liste und wird ab sofort mit dem Begriff "Pfrzlpfmmff" bezeichnet, um eventuelle Verwechslungen mit bereits existierenden Begrifflichkeiten zu vermeiden.

Die Anzahl der möglichen Pfrzlpfmmffs bei 4 Spielen und zwei Brettern würde so in der Liste erscheinen. Oh nein ! Das Wort Liste könnte ja auch missverstanden werden, da es möglicherweise in irgendeinem anderen Zusammenhang etwas anderes bedeuten könnte! Sollen wir dafür den Begrif "Wrtzblrpp" einführen, um eine eindeutige Definition zu erreichen ?

Also beginne ich mit der folgenden Wrtzblrpp:

Spieler 1, Brett A, Spieler 2

Spieler 3, Brett B Spieler 4

es sind keine weiteren Pfrzlpfmmffs mehr möglich, da Spieler 1 nur noch an Brett B spielen kann; dort haben jedoch bereits Spieler 3 und Spieler 4 gespielt. außerdem hat Spieler 1 bereits an Brett A mit Spieler 2 gespielt.

edit : muss nochmal kontrollieren

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Bei 8 Spielern und 4 Brettern sind 12 Pfrzlpfmmffs möglich.

kann man ausprobieren - aber wie berechnen ?

Answer 1

Zusammentreffen zweier Spieler an einem Brett.

Aus der Menge der Spieler werden zwei Spieler ausgewählt. Dazu gibt es \({12 \choose 2} = 66\) Möglcihkeiten.

Aus der Menge der Bretter wird eines ausgeählt. Dazu gibt es \({6 \choose 1} = 6\) Möglcihkeiten.

Die ausgewählten Spieler werden dem ausgeählten Brett zugeordnet: Dazu gibt es \(66·6 = 396\) Möglichkeiten.

Comments

Den Ansatz hatte ich auch schon probiert - aber die Anzahl der nur einmal pro Spieler verwendbaren Bretter führt nicht zu einer Vervielfachung der Möglichkeiten, sondern vielmehr zu einer erheblichen Einschränkung.

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Es gibt 396 mögliche Spielkombinationen. Das ändert sich auch nicht dadurch, dass jede Gegnerpaarung nur einmal vorkommen soll und jedes Brett nur einmal von jedem Spieler genutzt werden darf.

Diese Einschränkungen kommen erst dann zum tragen, wenn es darum geht, aus den 396 möglichen Spielkombinationen einige für ein Turnier auszuwählen.

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6 Spieler mit 3 Bretterm:

$${ 6 \choose 2}  \cdot { 3 \choose 1}= 15 \cdot 3= 45$$

S1 TA S2
S3 TB S4
S5 TC S6

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S3 TA S6
S5 TB S2
S1 TC S4

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S5 TA S4
S1 TB S6
S3 TC S2

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mehr geht nicht , oder ?

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Richtig, aus den 45 möglichen Spielkombinationen können pro Turnier 9 ausgewählt werden.

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Ab 8 Spielern und 4 Brettern klappt das aber nicht mehr - da bekomme ich nur 12 mögliche. Also nicht 4x4=16

Bei 4 Spielern und 2 Brettern gibt es nur 2 Möglichkeiten - also nicht 2x2=4

Wie lautet die allgemeine Formel für 2n Spieler und n Bretter und wie begründet man die ?

Das ändert sich auch nicht dadurch, dass jede Gegnerpaarung nur einmal vorkommen soll und jedes Brett nur einmal von jedem Spieler genutzt werden darf.

Doch - dadurch ändert sich vieles und genau das ist die Fragestellung.

Wie machen sich die genannten Einschränkungen bemerkbar und wie können diese mathematisch erfasst werden ?

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Doch - dadurch ändert sich vieles und genau das ist die Fragestellung.

Nein, die Fragestellung ist "Aus wie vielen Spielkombinationen kann ein Turnier unter den genannten Einschränkungen maximal bestehen?"

Das ist eine andere Frage als "Wie viele mögliche Spielkombinationen gibt es?"

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Zusätzlich gilt die Einschränkung, dass jedes Brett nur einmal von jedem Spieler genutzt werden darf.

Das stand ganz oben in der Frage. Mir bleibt völlig unbegreiflich, mit welcher Verbohrtheit man nur auf Wortklaubereien herumreiten kann, um den Fragesteller als Idiot dastehen zu lassen und sich selbst um die Beantwortung herumzumogeln.

Ihr könnt Thread löschen und meinen Account gleich mit. Ich möchte euch nicht weiter dabei belästigen, wenn ihr euch in eurer Schlauheit suhlt.