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Aufgabe:
Für eine Menge A betrachte die Teilmengen mit einer bestimmten zahl an Elementen n.
A beinhalte K Elemente.
Wie verläuft die Zuordnung Anzahl an enthaltenen Elementen->möglichen Teilmengen?



Beispiel:
Gegeben sei die Menge {1,2,3,4,5,6}.
Es gibt genauso 6 ein-elementige Teilmengen:
{1}{2}{3}{4}{5}{6}
Genauso lassen sich auch 2 elementige Teilmengen finden.
usw.

Frage ist, wie viele Teilmengen es gibt die genau n Elemente (von maximal k Elementen) enthalten?

Und insbesondere wie diese Teilmengenanzahl T(k) sich verändert, wenn man shcrittweise n von 1 ab bis hin zu maximal k erhöht?


Problem/Ansatz:
Meines geringen kombinatorischen Wissens nach gibt es für
n=1 genau k Teilmengen. (oben eben 6/1=6)
für n=2 sollten es k*(k-1)/2! Teilmengen sein (Oben also 6*5/2)

usw.
Also allgemein k*(k-1)*...*(k-n+1)/n!
=(k über n)
(glaube ich)

Stimmt das?
Und für vorgegebenes K, bis zu welchem n steigt (k über n), wo hat es seine spitze und wo fällt es wieder?

weil fallen muss es dann im maximalfall n=0k gibts ja nur (k über k)=1 möglichkeiten.
es muss also ein "maximum" geben.



PS: In meinem aktuellen Problem habe ich statt einfachen zahlen wie 1,2,3,4,5,6 dann als Elemente stattdessen bestimmte 6-Tupel.
Aber die Grundfragestellung und ihre Lösung sollten faktisch Diesselbe sein. :-)

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2 Antworten

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Kennst du Binomialkoeffizienten? Was weißt du darüber?

Avatar von

Dass es über (k über n) = k!/((n-k)!*n!)
oder so definiert ist.

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Hallo,

du benutzt n und k genau vertauscht gegenüber der üblichen Schreibweise.

Um aus n Elementen k (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) auszuwählen, gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten. Dabei ist

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

:-)

Avatar von 47 k

Und für welchen Wert für k ist das dann maximal, wie kann ich das rausfinden? :-)

Weil Ableiten und Ableitung Null setzen , wie sosnt üblich, klappt da ja weniger :-(

Guck dir mal das Pascalsche Dreieck an.

Da siehst du, dass der höchste Wert für n/2 erreicht wird, wenn n gerade ist. Falls n ungerade ist, tritt der größte Wert doppelt auf für n/2 ± 1/2.

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