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Wir wollen die Nullstelle der Bessel-Funktion

J1(x) := \( \frac{1}{π} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) cos(x·sint - t) dt
im Intervall [2,5] berechnen.

Schlagen Sie hierzu eine geeignete Kombination numerischer Verfahren vor, um das Integral zu bestimmen und sowie das Nullstellenproblem zu lösen. Geben Sie die hierfür benötigten Rechenschritte an. Begründen Sie Ihre Wahl.

Hinweis: Die Existenz einer eindeutigen Nullstelle müssen Sie nicht beweisen und falls nötig, können sie auch verwenden, dass J1'(x) ≠ 0.


Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir helfen und sagen, welche Verfahren ich hier verwenden kann?
Wir hatten unter anderem: Newton-Verfahren, Trapez, Simpson, Gauß-Quadraturen, Bisektionsverfahren, Regula Falsi, Sekantenverfahren...

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Ich hatte mir überlegt, erst das Trepezverfahren zu benutzen und danach das Newtonverfahren, um die Nullstelle zu berechnen. Macht das Sinn?

Hallo 123vier. Du hast schon in

https://www.mathelounge.de/1071138/konditionszahl-einer-matrix-bestimmen

nicht auf meine Hilfe reagiert. Ich würde sagen, antworte mir erst dort mal. Dann helfe ich dir bei dieser Aufgabe hier weiter. Danke!  

1 Antwort

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Hallo 123vier. Das Einfachste, mit dem man mal anfangen kann, ist eine Wertetabelle:

blob.png


Das zweit-einfachste ist das Intevallhalbierungsverfahren. Mach damit mal bitte weiter.
Das ist nicht der perfekte Weg, aber besser als gar kein Weg.
Dann machen wir uns über die weiteren Schritte Gedanken.

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Danke für die Antwort RomanGa.
Du kannst hier auch mal schauen, da ist diese Frage auch nochmal:
https://www.mathelounge.de/1073332/numerik-klausur-bearbeiten

Meine Frage zu dieser Aufgabe ist, nachdem ich die Klausur geschrieben habe, einfach nur, ob es sinnvoll ist, das Trapezverfahren und danach das Newtonverfahren zu verwenden. Da ich am Montag in die Einsicht gehe, muss ich irgendwie dafür argumentieren können.
Über eine alternative (vielleicht auch richtige) Lösung kann ich nach Montag nachdenken.
Nochmals vielen Dank.

Hallo 123vier.
Anwendung des Newtonverfahrens:

\( \begin{array}{l}f(x)=\frac{1}{\pi} \int \cos (x \sin t-t) d t \\ f^{\prime}(x)=-\frac{1}{\pi} \int \sin (x \cdot \sin t-t) \cdot \sin t d t\end{array} \)

blob.png

Das funktioniert also schon mal. Jetzt brauchen wir ein numerisches Verfahren zur Berechnung der Integrale.

https://de.wikipedia.org/wiki/Trapezregel

Es spricht nichts dagegen, die beiden Integrale mit der zusammengesetzten Sehnentrapezformel

\( T^{(n)}(f)=h\left(\frac{1}{2} f(a)+\frac{1}{2} f(b)+\sum \limits_{i=1}^{n-1} f(a+i h)\right) \)

zu berechnen.

„Meine Frage zu dieser Aufgabe ist, nachdem ich die Klausur geschrieben habe, einfach nur, ob es sinnvoll ist, das Trapezverfahren und danach das Newtonverfahren zu verwenden. Da ich am Montag in die Einsicht gehe, muss ich irgendwie dafür argumentieren können.“

Also: Umgekehrt: Zuerst das Newtonverfahren für die Nullstellenbestimmung und dann das Trapezverfahren für die Ermittlung der beiden beteiligten Integrale.

Das Newtonverfahren führt schneller zum Ziel als das Intervallhalbierungsverfahren, also ist dies eine gute Lösung. Die Bedingung f‘(x) ≠ 0 ist erfüllt.

Das Trapezverfahren ist ein einfaches und anschauliches Verfahren. Es ist das einfachste aus der Reihe der Newton-Cotes-Formeln. Siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln

Also liegst du richtig mit deiner Lösung in der Klausur.

Alles klar. Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Ich bin mal gespannt, was die Klausureinsicht so hergibt.

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