Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion f : R2 → R : (x, y) → x*y im Punkt ξ ∈ R2 mit Hilfe des

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion f : R2 → R : (x, y)  → x*y im Punkt ξ ∈ R² mit Hilfe des
ε − δ−Kriteriums.

Problem/Ansatz:

ich verstehe es leider nicht... irgendwie mit norm beweisen. kann mir das jemand machen? danke

Answer 1

Wir wollen also erst einmal zeigen, dass es für jede $x_0,y_0\in\mathbb{R},\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt, sodass wenn $\left\lVert(x-x_0,y-y_0)\right\rVert\leq\delta$, dann $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq\varepsilon$ gilt. Das ist der erste Schritt, das erstmal sauber hinzuschreiben, wenn du mit $\varepsilon-\delta$-Gedönse nicht so vertraut bist.

Jetzt nehmen wir uns mal ein $\varepsilon>0$ und tun so, als hätten wir schon ein passendes $\delta$, daraus werden wir dann sehen welches $\delta$ wir zu wählen haben.

Wenn $\left\lVert(x-x_0,y-y_0)\right\rVert\leq\delta$, dann kannst du $x=x_0+a,y=y_0+b$ schreiben mit $|a|\leq \delta,|b|\leq\delta$. Jetzt rechnen wir mal aus:

$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|(x_0+a)(y_0+b)-x_0y_0| = |x_0b+y_0a+ab|\leq (|x_0|+|y_0|)\delta+\delta^2\stackrel{\delta\leq 1}{\leq}(1+|x_0|+|y_0|)\delta\stackrel{!}{\leq}\varepsilon$.

Also die letzte Ungleichung soll gelten, und dafür brauchen wir die zusätzliche Eigenschaft $\delta\leq 1$, um die Vereinfachung $\delta^2\leq\delta$ nutzen zu können.

Wieso haben wir jetzt also so getan, als wären wir im Wunderland, wo alles funktioniert? Naja wir können jetzt gucken, ob wir ein $\delta$ konstruieren können, sodass diese Rechnung genau so durchgeht.

Damit $\delta$ diese letzte Ungleichung erfüllt, muss einfach nur $\delta\leq \frac{\varepsilon}{1+|x_0|+|y_0|}$ gelten, und damit wir die vorletzte Vereinfachung machen können, muss zusätzlich $\delta\leq 1$ gelten. Es bietet sich also an, $\delta=\min(1,\frac{\varepsilon}{1+|x_0|+|y_0|})$ zu wählen, und die Rechnung wird durchgehen. Das Minimum von mehreren Ausdrücken zu nehmen, damit dein $\delta$ mehrere Ungleichungen gleichzeitig erfüllt, ist ein Standardtrick, den du dir merken musst.

In der Vorlesung und im Skript wird meistens so ein $\delta$ vom Himmel fallen. In Wirklichkeit machst du genau das hier, du fängst an zu rechnen, schaust welche Vereinfachungen sich anbieten, und guckst ob du ein $\delta$ finden kannst, das diese Vereinfachungen zulässt. Im eigentlichen Beweis lässt du dann natürlich wieder ganz am Anfang das $\delta$ vom Himmel regnen und führst ihn ganz normal von A bis Z durch.

EDIT: Ungenauigkeit in der Ungleichung korrigiert.

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