Wir wollen also erst einmal zeigen, dass es für jede \(x_0,y_0\in\mathbb{R},\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) gibt, sodass wenn \(\left\lVert(x-x_0,y-y_0)\right\rVert\leq\delta\), dann \(|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq\varepsilon\) gilt. Das ist der erste Schritt, das erstmal sauber hinzuschreiben, wenn du mit \(\varepsilon-\delta\)-Gedönse nicht so vertraut bist.
Jetzt nehmen wir uns mal ein \(\varepsilon>0\) und tun so, als hätten wir schon ein passendes \(\delta\), daraus werden wir dann sehen welches \(\delta\) wir zu wählen haben.
Wenn \(\left\lVert(x-x_0,y-y_0)\right\rVert\leq\delta\), dann kannst du \(x=x_0+a,y=y_0+b\) schreiben mit \(|a|\leq \delta,|b|\leq\delta\). Jetzt rechnen wir mal aus:
\(|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|(x_0+a)(y_0+b)-x_0y_0| = |x_0b+y_0a+ab|\leq (|x_0|+|y_0|)\delta+\delta^2\stackrel{\delta\leq 1}{\leq}(1+|x_0|+|y_0|)\delta\stackrel{!}{\leq}\varepsilon\).
Also die letzte Ungleichung soll gelten, und dafür brauchen wir die zusätzliche Eigenschaft \(\delta\leq 1\), um die Vereinfachung \(\delta^2\leq\delta\) nutzen zu können.
Wieso haben wir jetzt also so getan, als wären wir im Wunderland, wo alles funktioniert? Naja wir können jetzt gucken, ob wir ein \(\delta\) konstruieren können, sodass diese Rechnung genau so durchgeht.
Damit \(\delta\) diese letzte Ungleichung erfüllt, muss einfach nur \(\delta\leq \frac{\varepsilon}{1+|x_0|+|y_0|}\) gelten, und damit wir die vorletzte Vereinfachung machen können, muss zusätzlich \(\delta\leq 1\) gelten. Es bietet sich also an, \(\delta=\min(1,\frac{\varepsilon}{1+|x_0|+|y_0|})\) zu wählen, und die Rechnung wird durchgehen. Das Minimum von mehreren Ausdrücken zu nehmen, damit dein \(\delta\) mehrere Ungleichungen gleichzeitig erfüllt, ist ein Standardtrick, den du dir merken musst.
In der Vorlesung und im Skript wird meistens so ein \(\delta\) vom Himmel fallen. In Wirklichkeit machst du genau das hier, du fängst an zu rechnen, schaust welche Vereinfachungen sich anbieten, und guckst ob du ein \(\delta\) finden kannst, das diese Vereinfachungen zulässt. Im eigentlichen Beweis lässt du dann natürlich wieder ganz am Anfang das \(\delta\) vom Himmel regnen und führst ihn ganz normal von A bis Z durch.
EDIT: Ungenauigkeit in der Ungleichung korrigiert.
