Beispiel Aufgabe Logarithmus: Mit unterschiedlichen Gesetzen

Question

Ich verstehe diese Beispiel-Aufgabe nicht:

\( \log _{2}(10 x+24)-\log _{2}(x-84)=\log _{2}(x-36) \) Log.gesetz
\( \Leftrightarrow \log _{2}\left(\frac{(10 x+24)}{(x-84)}\right)=\log _{2}(x-36) \quad \) Log. gleich, wenn Numeri gleich
\( \Rightarrow\left(\frac{(10 x+24)}{(x-84)}\right)=(x-36) \quad \) mal \( (x-84) \)
\( \begin{array}{ll}\Rightarrow 10 x+24=(x-36)(x-84) & \text { ausmultiplizieren }\end{array} \)
\( \Leftrightarrow 10 x+24=x^{2}-120 x+3024 \quad \) alles auf eine Seite
\( \Leftrightarrow x^{2}-130 x+3000=0 \quad \) Faktorisieren oder Auflösungsformel verwenden
\( \Leftrightarrow(x-30)(x-100)=0 \) Ein Produkt \( =0 \), wenn ein Faktor \( =0 \)
\( \Rightarrow x_{1}=30 \) und \( x_{2}=100 \)

Probe machen: Für \( x_{1}=30 \) erhält man in der Ursprungsgleichung einen negativen Logarithmus. Also keine Lösung.

Für \( x_{2}=100 \) erhält man eine wahre Aussage. \( L=\{100\} \)

Answer 1

Hi Johana,

Von der ersten auf die zweite Zeile wurde das Logarithmengesetz log(a)-log(b) = log(a/b) verwendet.

Auf die dritte Zeile hin wurde das verwendet, was ich in der letzten Frage gemeint  hatte -> Man erkennt, dass man nur noch die Numeri miteinander vergleichen muss. Im Bedarfsfall kannst Du hier auch die 2 drauf anwenden. Du kommst auf das gleiche raus.


Der Rest ist klar? ;)

Grüße