Berechnen die Abbildungsmatrix

Question

Aufgabe:

1. Sei \( s \) die lineare Abbildung, die jeden Vektor im \( \mathbb{R}^{2} \) auf die Gerade \( y=x / 2 \) projiziert.
Fertigen Sie eine Skizze an, und geben Sie eine Basis \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}\right) \) an, die aus Eigenvektoren der Abbildung \( \mathcal{s} \) besteht.
2. Geben Sie die Abbildungsmatrix von \( \mathcal{s} \) bezüglich \( \mathcal{B} \) an.

Problem/Ansatz:

Projection auf die Gerade \( y=\frac{x}{2} \)
\( \text { Der Velctor }=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \)

Jeder Vektor, der ortogonal zu Geraden \( y=\frac{x}{2} \) steht, wird auf den Nullvektor projiziert.Ein solcher Vektor ist \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right) \) da \( 2.1+1-2=0 \)
Basis B:
\( B=\left(\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)\right) \)

Hallo zusammen!

Was wäre hier meine Abbildungsmatrix? Könntet ihr bitte mir helfen wie ich da vorgehen soll ?

Danke!

Comments

Du kannst die gesuchte Abbildungsmatrix auch folgendermaßen berechnen:
\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac15\cdot\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}\).

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Wäre es eine Antwort für "Berechnen Sie die Abbildungsmatrix von s bezüglich der Standardbasis"? Ich hab mir so gedacht aber habe ich hier einen Denkfehler ?

Answer 1

Aloha :)

Den Richtungsvektorvektor, der Geraden, auf die projeziert werden soll, hast du mit \(\binom{2}{1}\) korrekt bestimmt. Die Projektion eines beliebigen Vektors \(\binom{x}{y}\) auf diese Gerade ist nun:$$\binom{x'}{y'}=\left(\frac{\binom{x}{y}\cdot\binom{2}{1}}{\binom{2}{1}\cdot\binom{2}{1}}\right)\cdot\binom{2}{1}=\frac{2x+y}{5}\cdot\binom{2}{1}=\binom{\frac45x+\frac25y}{\frac25x+\frac15y}=\underbrace{\pink{\left(\begin{array}{c}\frac45 & \frac25\\[1ex]\frac25 & \frac15\end{array}\right)}}_{\eqqcolon A}\binom{x}{y}$$Die pinke Matrix ist die gesuchte Abbildungsmatrix \(A\).

Comments

Hallo!

aber wäre meine Abbildungmatrix (1,0) und (0,0) weil meine Eigenwerten für Eigenvektoren 1 und 0 ist ?  

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so meine ich \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right]

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Die gesuchte Projektion ist der Anteil eines Vektors \(\binom{x}{y}\), der parallel zur Geraden \(y=\frac x2\) verläuft. Die Abbildungsvorschrift habe ich dir ja angegeben und auch gezeigt, wie man diese in Matrix-Schreibweise formulieren kann.

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aber wenn die Standardbasis gefragt wird, also die Abbildungsmatrix von s bezüglich der Standardbasis. Sollte ich einfach (1.0) und (0,1) in die Matrix einsetzen damit ich die Abbildunsgmatrix finden kann?

Ich bin verwirrt :/

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Jetzt verstehe ich das Problem...

Die Abbidlungsmatrix \(A=\left(\begin{array}{cc}\frac45 & \frac25\\[1ex]\frac25 & \frac15\end{array}\right)\) hat die Eigenwerte \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=0\). Die zugehörigen Eigenvektoren sind \(\vec b_1=\binom{2}{1}\) und \(\vec b_2=\binom{-1}{2}\). Die Transformationsmatrizen zwischen der Basis \(B=(\vec b_1;\vec b_2)\) und der kansonischen Standardbasis \(S\) sind:$$T_{S\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}2 & -1\\1 & 2\end{array}\right)\quad:\quad T_{B\leftarrow S}=T_{S\leftarrow B}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}\frac25 & \frac15\\[1ex]-\frac15 & \frac25\end{array}\right)$$Die Abbildungsmatrix \(A_B\) bezüglich der Basis \(B\) ist daher:$$A'=T_{B\leftarrow S}\cdot A\cdot T_{S\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)$$Das ist vermutlich das, was du meintest ?

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Jaaa genau das meine ich, dann ist die Abbildungsmatrix nicht unsere Antwort für die Frage ?

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Die Matrix \(A\) beschreibt die Abbildung bezüglich der kanonischen Standardbasis. Die Matrix \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\) beschreibt die Abbildung bezüglich der Basis \(B\). Letztere ist gesucht ;)

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Verstanden Danke!

aber

"Berechnen Sie die Abbildungsmatrix von s bezüglich der Standardbasis"

Wäre diese Matrix  eine Antwort ?

←=(2−112) : ←=←−1=(2515−1525)(52−515152) 

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Das wäre die pinke Matrix aus meiner Antwort.

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Dann habe ich richtig gefunden, Danke für deine Geduld :)