Beweise im Thema Zahlentheorie

Question

Hallo, kann mir jemand bei diesen Beweisen helfen?

Danke im Voraus.

Text erkannt:

1. Beweisen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \) gilt:
\( 10^{n} \equiv 1(\bmod 3) . \)

Folgern Sie dann das folgende Resultat:
Lemma. Sei \( n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \) mit Dezimaldarstellung
\( n=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot 10^{i} . \)
\( n \) ist genau dann durch 3 teilbar, wenn \( \sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \) durch 3 teilbar ist.
2. Beweisen Sie nun ähnlich zum ersten Teil:
Lemma. Sei \( n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \) mit Dezimaldarstellung
\( n=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot 10^{i} . \)
\( n \) ist genau dann durch 11 teilbar, wenn \( \sum \limits_{i=0}^{k}(-1)^{i} a_{i} \) durch 11 teilbar ist.

Answer 1

Es gilt 10 ≡ 1 mod 3.

Daraus folgt 10ⁿ ≡ 1ⁿ ≡ 1mod 3.

Aus 10ⁿ ≡ 1mod 3 folgt a_n·10ⁿ ≡ a_n mod 3 für alle n.

Aus

a_0 ≡ a_0 mod 3
10·a_1 ≡ a_1 mod 3
100·a_2 ≡ a_2 mod 3
1000·a_3 ≡ a_3 mod 3

usw.

folgt durch Addition dieser Kongruenzen

z ≡ QS(z) mod 3.

Comments

Erstmal Danke, aber wieso folgt aus 10=1 mod3 auch 10^n = 1^n mod3?
Ist das weil man beide Seiten der Gleichung dann einfach hoch n nehmen kann oder wie genau? Und den Beweis bezüglich des Lemmas verstehe ich nicht ganz, kannst du mir den eventuell erläutern?

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aber wieso folgt aus 10=1 mod3 auch 10ⁿ = 1ⁿ mod3?

Das ist der Satz (III) aus "Korrespondenzzirkel Mathematik -

Arbeitsmaterial für Klasse 7":

So etwas hast du sicher auch in deinen Unterlagen.