Basis zeigen und Koordinaten bezüglich Basis berechnen?

Question

Aufgabe:

Man zeige, dass die Vektoren \( \boldsymbol{a}=(-2,3,1)^{T}, \boldsymbol{b}=(4,1,0)^{T}, \boldsymbol{c}=(1,-1,2)^{T} \) eine Basis \( B \) von \( V=\mathbb{R}^{3} \) bilden und berechne die Koordinaten von \( \boldsymbol{v}=(5,7,4)^{T} \) bezüglich \( B \).

Problem/Ansatz:

Reicht es beim ersten Teil zu schreiben, dass Für x, y, z = 0 Ja. ?

Und um die Koordinaten zu berechnen muss man ja einfach das Erzeugendensystem lösen für a,b,c.

Also: v = xa + yb+ yc ?

Answer 1

Aloha :)

Die 3 Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) bilden genau dann eine Basis des \(\mathbb R^3\), wenn das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen ungleich Null ist, denn andernfalls würden alle 3 Vektoren in einer Ebene liegen, oder gar kollinear zueinander sein. Der Betrag einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die \(n\) Spalten- bzw. die \(n\) Zeilenvektoren aufspannen. Das Vorzeichen dieser Determinante gibt an, ob diese Vektoren ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden. Für den Nachweis der Basiseigenschaft reicht es also zu zeigen, dass die Determinante der 3 Vektoren ungleich Null ist:$$D=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 4 & 1\\3 & 1 & -1\\1 & 0 & 2\end{array}\right|\stackrel{S_3=S_3-2S_1}{=}\left|\begin{array}{rrr}-2 & 4 & 5\\3 & 1 & -7\\1 & 0 & 0\end{array}\right|=-28-5=-33\ne0\quad\checkmark$$

Die Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) der Basis \(B\) sind bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S\) angegeben (eine andere ist ja zu dem Zeitpunkt ihrer Definition nicht bekannt). Daher ist die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(S\) bekannt:$$T_{S\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rrr}-2 & 4 & 1\\3 & 1 & -1\\1 & 0 & 2\end{array}\right)$$In die andere Richtung wird mit der Inversen transformiert:$$T_{B\leftarrow S}=T_{S\leftarrow B}^{-1}=\frac{1}{33}\left(\begin{array}{rrr}-2 & 8 & 5\\7 & 5 & -1\\1 & -4 & 14\end{array}\right)$$

Damit transformieren wir den Vektor \(\vec v\) von \(S\) nach \(B\):$$\vec v_B=T_{B\leftarrow S}\cdot\vec v_S=\frac{1}{33}\left(\begin{array}{rrr}-2 & 7 & 1\\8 & 5 & -4\\5 & -1 & 14\end{array}\right)\begin{pmatrix}5\\7\\4\end{pmatrix}_S=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}_B$$

Comments

Vielen Dank.

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aber warum komme ich auf ein anderes Ergebnis wenn ich

v = alpha*a + beta*b + gamma*c mache und dann nach alpha beta gamma auflöse?

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Die Probe zu meiner Rechnung stimmt aber:$$\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}_B=2\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\\4\end{pmatrix}$$

Daher vermute ich, dass dir beim Auflösen des Gleichungssystems der Fehlerteufel einen Streich gespielt hat ;)

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Vielleicht noch der technische Hinweis: Wenn diese Aufgabe in einer Klausur per Hand zu bearbeiten wäre, dann wäre es einfacher, das Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten per Gauss zu lösen - dabei fällt ja die Information, dass eine Basis vorliegt automatisch mit ab

Answer 2

Ja, genau so muss man das machen.

Und beim ersten Teil:   0 = xa + yb+ yc

nur für x, y, z = 0 . Dann sind die drei

lin. unabh. bilden also eine Basis von R^3.

Comments

Berechne doch einfach den Rang der Matix mit den Spalten a,b,c.