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Der Vektor v besitzt die Koordinaten (2,−3) bezüglich der Standardbasis e1=(1,0), e2=(0,1).

Bestimmen Sie die Koordinaten von v bezüglich der neuen Basis B, gegeben durch b1=(3,1) und b2=(1,0).

Antwort : a) vB = (-3,11)

             b) vB = (-1/3,2/3)

             c) vB = (3,2)

             d) vB = (1,-6)


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Aloha :)

Die Koordinaten der Vektoren von der neuen Basis \(B\) sind bezüglich der Standardbasis angegeben, daher kennen wir die Transformationsmatrix \(M^B_S\) von der neuen Basis \(B\) in die Standardbasis \(S\):$$M^B_S=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$

Wir sollen die Komponenten des Vektors \(\vec v=\binom{2}{-3}_S\) in die neue Basis \(B\) transformieren, also müssen wir von \((S\to B)\) transformieren. Dazu verwenden wir die Inverse der obigen Matrix:$$\vec v=M^{S}_B\cdot\binom{2}{-3}_S=\left(M^B_S\right)^{-1}\cdot\binom{2}{-3}_S=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & -3\end{array}\right)\cdot\binom{2}{-3}_S=\binom{-3}{11}_B$$

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