Bestimmen Sie die Koordinaten von v bezüglich der neuen Basis B, gegeben durch b1=(3,1) und b2=(1,0).

Question

Der Vektor v besitzt die Koordinaten (2,−3) bezüglich der Standardbasis e₁=(1,0), e₂=(0,1).

Bestimmen Sie die Koordinaten von v bezüglich der neuen Basis B, gegeben durch b₁=(3,1) und b₂=(1,0).

Antwort : a) v_B = (-3,11)

             b) v_B = (-1/3,2/3)

             c) v_B = (3,2)

             d) v_B = (1,-6)

Vielen Dank für die Antwort

Answer 1

Aloha :)

Die Koordinaten der Vektoren von der neuen Basis \(B\) sind bezüglich der Standardbasis angegeben, daher kennen wir die Transformationsmatrix \(M^B_S\) von der neuen Basis \(B\) in die Standardbasis \(S\):$$M^B_S=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$

Wir sollen die Komponenten des Vektors \(\vec v=\binom{2}{-3}_S\) in die neue Basis \(B\) transformieren, also müssen wir von \((S\to B)\) transformieren. Dazu verwenden wir die Inverse der obigen Matrix:$$\vec v=M^{S}_B\cdot\binom{2}{-3}_S=\left(M^B_S\right)^{-1}\cdot\binom{2}{-3}_S=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & -3\end{array}\right)\cdot\binom{2}{-3}_S=\binom{-3}{11}_B$$