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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wenn du ein Binom ausmultiplizieren möchtest$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b)}_{\text{\(n\) Faktoren \((a+b)\)}}$$musst du aus jeder Klammer entweder ein \(a\) oder ein \(b\) auswählen.
Es gibt genau \(\binom{n}{0}\) Möglichkeiten zur Auswahl von \(n\)-mal \(a\) und \(0\)-mal \(b\).
Das liefert den Beitrag: \(\binom{n}{0}a^nb^0\).
Es gibt genau \(\binom{n}{1}\) Möglichkeiten zur Auswahl von \((n-1)\)-mal \(a\) und \(1\)-mal \(b\).
Das liefert den Beitrag: \(\binom{n}{0}a^{n-1}b^1\).
Es gibt genau \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten zur Auswahl von \((n-2)\)-mal \(a\) und \(2\)-mal \(b\).
Das liefert den Beitrag: \(\binom{n}{0}a^{n-2}b^2\).
Wenn du das forführst und alle Werte addierst, erhältst du den binomischen Lehrsatz:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$$
zu 1) Hier brauchst du nur den binomischen Lehrsatz anzuwenden:$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\pink{1^{n-k}}\cdot\blue{1^k}=(\pink1+\blue1)^n=2^n$$$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\pink{1^{n-k}}\cdot(-1)^k=(\pink1+(-1))^n=0$$
zu 2) Hier helfen dir die Auswahl-Überlegungen von oben weiter.$$\red{(1+2x)^{10}}\blue{(1-x^2)^6}$$Zum Faktor \(x^{20}\) führen folgende Auswahlen:
1. Möglichkeit: 10-mal \(\red{2x}\) und 5-mal \(\blue{(-x^2)}\)$$\red{\binom{10}{10}\cdot1^0\cdot(2x)^{10}}\cdot\blue{\binom{6}{5}\cdot1^1\cdot(-x^2)^5}=-6144\,x^{20}$$
2. Möglichkeit: 8-mal \(\red{2x}\) und 6-mal \(\blue{(-x^2)}\)$$\red{\binom{10}{8}\cdot1^2\cdot(2x)^{8}}\cdot\blue{\binom{6}{6}\cdot1^0\cdot(-x^2)^6}=11520\,x^{20}$$
Der gesuchte Koeffizient vor \(x^{20}\) lautet daher: \(5376\).
