Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Formel

Question

Text erkannt:

1. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Formel:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}, \quad n \in \mathbb{N} . \)
2. Leiten Sie die Formel aus Aufgabenteil 1 erneut her, indem Sie die Summe
\( \sum \limits_{k=1}^{n}\left((k+1)^{3}-k^{3}\right) \)
auf zwei verschiedene Weisen berechnen (Indexverschiebung und Ausmultiplizieren).

Was wäre hier die Lösung?

Comments

Wenn du nur die Lösung willst, kannst du ja mal eine Minute im Internet schauen. Ist eine Standardaufgabe an gefühlt jeder Uni.

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Oder er wartet auf MC, der rechnet schön brav vor. :)

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Brav ja, aber schön ist anders.

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Tschakabumba macht es dann in schön. ;)

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... und versetzt seinen 1-Person-Fanclub in Verzückung.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu 1) Die folgende Summenformel soll mittels vollständiger Induktion bewiesen werden:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Induktionsverankerung bei n=1:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^nk^2\stackrel{(n=1)}{=}\sum\limits_{k=1}^1k^2=1^2=1=\frac66=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}\stackrel{(n=1)}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von n auf (n+1):

Die Richtigkeit der Formel ist bereits für den Fall \(n\) gezeigt. Damit gilt:$$S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}k^2=\sum\limits_{k=1}^nk^2+\pink{(n+1)^2}\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\pink{\frac{6(n+1)^2}{6}}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{(n+1)\cdot(2n^2+n)+\pink{(n+1)\cdot(6n+6)}}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+\overbrace{n+\pink{6n}}^{=7n}\pink{+6})}{6}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{(n+1)[(2n^2+\overbrace{3n)+(4n}^{=7n}+6)]}{6}=\frac{(n+1)[n\blue{(2n+3)}+2\blue{(2n+3)}]}{6}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{(n+1)(n+2)\blue{(2n+3)}}{6}\quad\checkmark$$

zu 2) Zum Beweis der Behauptung aus (1) soll nun die angegebene Summe auf 2 Arten bestimmt werden. Ich bezechne diese Summe mit \(H_n\) weil es ja nur eine Hilfs-Summe ist.

1) Indexverschiebung:$$H_n=\sum\limits_{k=1}^n\left((k+1)^3-k^3\right)=\sum\limits_{k=1}^n(k+1)^3-\sum\limits_{k=1}^nk^3=\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}((k\pink{-1})+1)^3-\sum\limits_{k=1}^nk^3$$$$\phantom{H_n}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^3-\sum\limits_{k=1}^nk^3=\left(\pink{(n+1)^3}+\sum\limits_{k=2}^{\pink n}k^3\right)-\left(\sum\limits_{k=\blue2}^nk^3+\blue{1^3}\right)=\pink{(n+1)^3}-\blue1$$$$\phantom{H_n}=n^3+3n^2+3n$$

2) Ausmultiplizieren:$$H_n=\sum\limits_{k=1}^n\left((k+1)^3-k^3\right)=\sum\limits_{k=1}^n\left(k^3+3k^2+3k+1-k^3\right)=\sum\limits_{k=1}^n\left(3k^2+3k+1\right)$$$$\phantom{H_n}=3\red{\sum\limits_{k=1}^nk^2}+3\green{\sum\limits_{k=1}^nk}+\blue{\sum\limits_{k=1}^n1}=3\cdot\red{S_n}+3\cdot\green{\frac{n^2+n}{2}}+\blue n$$Dabei habe ich vorausgesetzt, dass du die grüne Gauß-Summe kennst.

Das Ergebnis vom Ausmultiplizieren kannst du nach \(S_n\) umstellen:$$S_n=\frac13\left(H_n-3\cdot\frac{n^2+n}{2}-n\right)$$und dann den Term für die Hilfs-Summe \(H_n\) aus der Indexverschiebung einsetzen:$$S_n=\frac13\left(n^3+3n^2+3n-3\cdot\frac{n^2+n}{2}-n\right)$$

Das musst du nur noch auf die von oben bekannte Form der Summenformel bringen:$$S_n=\frac13\cdot\frac{2n^3+6n^2+6n-3(n^2+n)-2n}{2}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$$$$\phantom{S_n}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Answer 2

Zu Aufgabe 1:

Induktionsanfang machen.

Induktionsbehauptung aufstellen und Induktionsvoraussetzung formulieren.

Induktionsschritt \(n\rightarrow n+1\) durchführen und Induktionsvoraussetzung anwenden.

Diese Schrittfolge sollte in deinen Unterlagen irgendwo zu finden sein. Zeige, wie weit du damit kommst. Im Zweifel gibt es unzählige Beispiele dazu im Internet. Deines findet man da sogar auch zu Hauf.

Zu Aufgabe 2:

Da steht eigentlich schon dabei, was zu tun ist. Da sollte man einfach mal anfangen und ausprobieren. Die Summe lässt sich einfach also Teleskopsumme berechnen. Der Ausdruck für diese Summe ist dann sehr einfach. Andererseits liefert Ausmultiplizieren \(\sum ((k+1)^3-k^3)=\sum (k^3+3k^2+3k+1-k^3) =\sum (3k^2+3k+1)\). Wenn man diese Summe jetzt auseinanderzieht und nach \(\sum k^2\) auflöst, erhält man das gewünschte Resultat.

Answer 3

2.

∑ (k = 1 bis n) ((k + 1)^3 - k^3)

= ∑ (k = 1 bis n) (k^3 + 3·k^2 + 3·k + 1 - k^3)

= ∑ (k = 1 bis n) (3·k^2 + 3·k + 1)

= ∑ (k = 1 bis n) (3·k^2) + ∑ (k = 1 bis n) (3·k) + ∑ (k = 1 bis n) (1)

= 3·∑ (k = 1 bis n) (k^2) + 3*1/2·n·(n + 1) + n

= 3·∑ (k = 1 bis n) (k^2) + 1.5·n^2 + 2.5·n

∑ (k = 1 bis n) (k + 1)^3 - ∑ (k = 1 bis n) (k^3)

= ∑ (k = 2 bis n + 1) k^3 - ∑ (k = 1 bis n) (k^3)

= (n + 1)^3 - 1^3

= n^3 + 3·n^2 + 3·n

Gleichsetzen

3·∑ (k = 1 bis n) (k^2) + 1.5·n^2 + 2.5·n = n^3 + 3·n^2 + 3·n

3·∑ (k = 1 bis n) (k^2) = n^3 + 1.5·n^2 + 0.5·n

∑ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/3·n^3 + 3/6·n^2 + 1/6·n

∑ (k = 1 bis n) (k^2) = n·(n + 1)·(2·n + 1)/6