Zeigen Sie, dass x genau dann algebraisch ist, wenn f(x) algebraisch ist.

Question

Seien K ein Körper, A1 und A2 K-Algebren, f:A1->A2 ein K-Algebraisomorphismus und x∈A1.

Zeigen Sie, dass x genau dann algebraisch ist, wenn f(x) algebraisch ist.

Answer 1

x ist algebraisch, wenn es ein Polynom p mit p(x) = 0 gibt. Wenn f ein Homorphismus ist, gilt auch f(p(x)) = p(f(x)) = 0. Die Umkehrung gilt, wenn f ein Isomorphismus ist.