Isomorphismus bestimmen von Ring

Question

(a) Es seien m, n ∈ N natürliche Zahlen, so dass a, b ∈ Z mit 1 = am + bn existieren. Zeigen

Sie, dass die Abbildung

Φ : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ, [k]  →  [k], [k] ,

ein Isomorphismus von Ringen ist. Dabei sei der Ring Z/mZ × Z/nZ mit den komponen- tenweisen Verknüpfungen versehen.

(b) Gibt es eine ganze Zahl, die bei Division durch 101 den Rest 53 und bei Division durch 304 den Rest 97 lässt?

(c) Gibt es eine ganze Zahl, die bei Division durch 12 den Rest 3 und bei Division durch 8 den Rest 4 lässt?

Kann jmd. mir paar Tipps geben wie ich die aufgabe lösen kann.. hab bisher noch keine passenden Ansätze gefunden.

MfG

Answer 1

konntest du die Aufgabe lösen?

Muss sie nämlich auch machen und verstehe sie gar nicht.

LG

Answer 2

Hi Justin,

ich habe es folgendermaßen gemacht:

Zeige das die Abbildung bijektiv ist!

Ist sie injektiv?:

$$ k \in \mathbb{Z}, ([k],[k])=0=(0,0)\Rightarrow [k]=0 in \mathbb{Z}/m \land \mathbb{Z}/n $$k ist durch m und n teilbar. Da m,n teilerfremd sind (am+bn=1) ist auch k durch m*n teilbar. Also ist [k]=0 in Z/mnZ.

Die Abbildung ist injektiv.

Ist sie surjektiv?

Sei$$ ([u],[v]) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \land x:=anu +bmv $$

$$ \Rightarrow x= anu + bmv \equiv anu \equiv anu+bmu= (an+bm)u= u" mod" m$$$$ \Rightarrow x= amu + bmv \equiv bmv \equiv anv+bmv= (an+bm)v= v" mod" n$$$$ \Rightarrow ([x],[x])= ([u],[v]) $$ die Zuordnung ist also surjektiv

Und zur (b) ich denke mal die Gleichungen a mod 101 =53 und a mod 304 =97 müssen gelöst werden

Also folgt daraus a=101n +53 und a=304n+97

101n +53 = 304n +97

101n-304n= 44 also keine Lösung für n aus N

bei der (c)

12n+3=8n+4

4n =1 also wieder keine Lösung für n aus N

Ich bin mir nicht ganz sicher mit den Lösungen also ohne Gewähr.

Gruß Hakai

Comments

Achso und du musst noch zeigen das die Abbildung wohldefiniert ist und überhaupt ein Homomorphismus ist.

Gruß Hakai

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Hallo Hakai, vielen Dank für deinen Beweis.  Leider kann ich deinen Beweis von Isomorphismus nicht nachvollziehen.  Vielleicht kannst du ihn näher erläutern.

Ich habe den Beweis so führen wollen:
Allgemein:  f(x) = f(y) => x = y
Hier:  ([x]_m, [x]_n) = ([y]_m, [y]_n) => [x]_mn = [y]_mn
[x]_m = [y]_m und [x]_n = [y]_n => ...
Und wie gehts jetzt weiter?  Ich würde ja schreiben
[x]_m * [x]_n = [y]_m * [y]_n => …
Aber ich habe nirgends eine Definition von [x]_m * [x]_n gefunden.