Aufgabe:
Sei \( I \unlhd R \) ein Ideal eines kommutativen Rings \( R \) (mit Eins), \( X \) eine Unbestimmte und
\( I(X):=\left\{\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \mid n \in \mathbb{N} ; a_{i} \in I \text { für } 0 \leq i \leq n\right\} \subseteq R[X] \)
(a) Konstruieren Sie einen Isomorphismus \( (R / I)[X] \cong R[X] / I(X) \) und zeigen Sie, dass es sich um einen Isomorphismus handelt.
(b) Sei \( M \unlhd R \) ein maximales Ideal, das heißt, für alle Ideale \( I \unlhd R \) folgt aus \( M \subseteq I \), dass \( I=M \) ist. Betrachten Sie die Menge \( \mathfrak{M} \) aller Ideale von \( R[X] \), die \( M(X) \) enthalten:
\( \mathfrak{M}:=\{J \unlhd R[X] \mid M(X) \subseteq J\} \)
Bestimmen Sie die Ideale in \( \mathfrak{M} \) eindeutig.
