Quotientenring isomorph zu den komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

(i) Es sei \( S \) ein Ring, \( R \subseteq S \) ein Teilring und \( x \in S \). Zeigen Sie, dass die Abbildung

\( \varphi_{x}: R[t] \longrightarrow S, f=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} t^{i} \longmapsto f(x):=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \)

ein Ringhomomorphismus ist.

(ii) Zeigen Sie, dass sich jedes Element des Ringes \( \mathbb{R}[t] /\left(t^{2}+1\right) \) in der Form \( \overline{a_{0}+a_{1} t} \) mit \( a_{0}, a_{1} \in \mathbb{R} \) schreiben lässt.

(iii) Zeigen Sie, dass

\( \varphi: \mathbb{R}[t] /\left(t^{2}+1\right) \longrightarrow \mathbb{C}, \bar{f} \longmapsto f(i) \)

ein Ringisomorphismus ist.

Ansatz/Problem:

Es geht um den Aufgabenteil (iii). Die Lösung steht zwar in dieser pdf-Datei ( http://math.byu.edu/~forcader/zproof.pdf ), allerdings verstehe ich sie nicht wirklich: zproof.pdf (29 kb)

Die Idee ist ja, dass man zeigt, dass R[x]/(x²+1) der Kern von f ist oder?

Ab der Stelle "Note that (for real polynomials) p(i)=0 if p(-i)=0 (since complex roots of real polynomials always come in conjugate pairs)." wirds mir zu hoch.

Dort steht ja, dass p(i) Null ist, wenn p(-i) Null ist bei reellen Polynomen. Da p(i)=a+bi ist somuss doch somit der hintere Summand entfallen, damit das Polynom reelwertig wird oder? Also einfach p(i)=a. Somit wäre klar, dass p(i) dann Null ist, wenn p(-i) Null ist. Allerdings denke ich nicht, dass das so stimmt.

Und wenn ich die Klammer lese, denke ich an daran, dass eine komplexe Zahl multipliziert mit der konjugierten komplexen Zahl x²+y² ergibt, wenn die komplexe Zahl z:=x+iy ist.

Answer 1

Das Ideal (t²+1) ist der Kern von f.

Und jedes reelle Polynom mit komplexen Nullstellen hat immer auch das komplex konjugierte als Nullstelle,

weil \( \overline{f(z)}= \overline{\sum a_i z^i} =\sum a_i \overline{z}^i = f( \overline{z})\), da die a_i reell sind.