Lokalisierung, Quotientenring. Seien R ein kommutativer Ring mit 1 und S Teilmenge von R eine…

Question

Seien R ein kommutativer Ring mit 1 und S ⊆ R eine (nicht-leere) multiplikativ abgeschlossene Menge. Zeigen Sie, die beiden folgenden Aussagen sind äquvalent.

(a) Rs = {0} ist der Null-Ring.

(b) 0 ∈ S

Comments

Meinst du

(b) 0 ∈ S ?

Answer 1

(a)⇒(b)

Sei s ein beliebiges Element von S. Da 1/s=0/s=0 in R_S existiert nach Definition ein t in S mit ts=0.

Da S multiplikativ abgeschlossen ist, ist 0 in S.

(b)⇒(a)

Es ist t/s=u/v für alle t,u in R und s,v in V da 0(tv-su)=0.

R_S hat also nur ein Element und ist damit der Nullring.