Begründen Sie, dass die Punkte auf dem Weg γ folgender Gleichung in kartesischen Koordinaten genügen:

Question

Aufgabe:

Begründen Sie, dass die Punkte auf dem Weg γ folgender Gleichung in kartesischen Koordinaten genügen:

(x²+y²)²+4*a*x*(x²+y²)=4*a²*y²

Problem/Ansatz:

mein x und y Werte sind folgende:

x = 2*a*(cos(t)-cos²(t))

y = 2*a*(sin(t)-cos(t)*sin(t))

händisch diese Gleichung auszurechnen ist unmöglich? gibt es noch andere Wege wie man das beweisen kann?

LG

Answer 1

händisch diese Gleichung auszurechnen ist unmöglich?

Wieso?

Binomische Formeln, Klammern ausmultiplizieren, Additionstheoreme, trigonometrischer Pythagoras - sagt dir das nichts?

Aus x = 2*a*(cos(t)-cos²(t)) folgt

\(x^2=4a^2(cos^2(t)-2cos^3(t)+cos^4(t))\).

Entsprechend gilt

\(y^2=4a^2(sin^2(t)-2sin^2(t)\cdot cos(t)+sin^2(t)\cdot cos^2(t))\).

Fange an und setze ein.

Comments

Hallo, doch klar sagt mir das was abakus aber wenn ich das so mache muss ich ne Seite lang mindestens rechnen

gibts keinen kürzeren Weg?

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gibts keinen kürzeren Weg?

Doch : Binomische Formel(n) erst später einsetzen, Klammern ausmultiplizieren, Additionstheoreme weglassen.
Stattdessen : immer wider ausklammern wo möglich.

Answer 2

(x^2 + y^2)^2 + 4·a·x·(x^2 + y^2) = 4·a^2·y^2

(x^2 + y^2)^2 + 4·a·x·(x^2 + y^2) + 4·a^2·x^2 = 4·a^2·x^2 + 4·a^2·y^2

(x^2 + y^2 + 2·a·x)^2 = 4·a^2·(x^2 + y^2)

Und

x = 2·a·COS(t)·(1 - COS(t))

y = 2·a·SIN(t)·(1 - COS(t))

Ich denke dann kann man das schon Problemlos einsetzen. Beachte das sich x^2 + y^2 jetzt schon vereinfacht zu

x^2 + y^2 = 4·a^2·(COS(t) - 1)^2

Damit komm ich recht fix auf die Lösung.