Binomialverteilung oder Hypergeometrische Verteilung Frage

Question

Ein Unternehmen produziert ein Produkt in zwei Varianten A und B. Die
Tagesproduktion beträgt 60 Stück, davon 40 von Variante A und 20 von Variante B. Zur
Qualitätskontrolle werden aus einer Tagesproduktion drei Produktionsstücke zufällig
ausgewählt (Ziehen ohne Zurücklegen).
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den drei für die
Qualitätskontrolle ausgewählten Produktionsstücken genau zwei von Variante B
befinden.
b) Berechnen Sie mithilfe der Approximation durch die Binomialverteilung die
Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den drei für die Qualitätskontrolle ausgewählten
Produktionsstücken genau zwei von Variante B befinden.
c) Die Tagesproduktion wird kurzfristig auf 100 Stück (80 Stück von Variante A, 20
Stück von Variante B) erhöht. Zur Qualitätskontrolle werden weiterhin drei
Produktionsstücke zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich
darunter genau zwei Produktionsstücke von Variante B?

Also bei der a) wird die Hypergeometrische Verteilung angewendet, aber bei der c) die Binomialverteilung. Wie erkennt man jetzt bei der c) das hier die Binomialverteilung verwendet wird ? Ich hätte jetzt an das Schlagwort "zufällig" gedacht...

Answer 1

Wer sagt das bei c) mit der Binomialverteilung gerechnet wird. Exakt wäre die hypergeometrische Verteilung. Man könnte es nur nähern durch die Binomialverteilung.

Es werden 3/100 gezogen und das sind höchstens 5% also dürfte man nähern. Du kannst aber prima auch exakt rechnen

P = (80 über 1)·(20 über 2)/(100 über 3) = 0.0940

Bei Näherung über Binomialverteilung

P = (3 über 2)·(20/100)^2·(80/100)^1 = 0.096

Comments

Stimmt hier wurde die Näherung durchgeführt. Nur die Näherungsformel sah identisch aus mit der normalen Binomialverteilungsformel, deshalb dachte ich hier wurde mit der normalen Binomialverteilung gerechnet

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Es wird dir normale Formel der Binomialverteilung für die Näherung verwendet.

Answer 2

Sowohl bei a) als auch bei c) wird die hypergeometrische Verteilung verwendet.

Answer 3

a) mit Baumdiagramm:

20/60*19/59*40/58*(3über2) = 22,21%

b) p=20/60 = 1/3

(3über2)*(1/3)^2*2/3 = 22,22%

c) 20/100*19/99*80/98*3 = 9,4%

Wenn p <5% ist, kann man oft gut mit der Binomialverteilung annähern. Hier ist p genau 5%. Würde also auch noch gehen.

Die Abweichung beträgt 0,2% (siehe Mathecoach).

Wie erkennt man jetzt bei der c) das hier die Binomialverteilung verwendet wird ?

Ohne Zusatz ist hiervon auszugehen:

Zur
Qualitätskontrolle werden aus einer Tagesproduktion drei Produktionsstücke zufällig
ausgewählt (Ziehen ohne Zurücklegen).

Also kann die Binomialverteilung nicht gemeint sein.