Kann man Integrale so berechnen?

Question

Aufgabe:

Integriere \(\int \frac{x^{13}+3x^6}{x^7+4}dx\)

Problem/Ansatz:

Funktioniert mein Ansatz (ich habe einfach 1zu1 meinen LaTex code kopiert, gibt vielleicht Typos)

Um das Integral \(\int \frac{x^{13}+3x^{6}}{x^{7}+4}dx\) zu berechnen, können wir es mit der Summenregel in zwei Teile aufteilen und jedes Teil separat integrieren:
1. \(\int \frac{x^{13}}{x^{7}+4}dx\)
  \(   \overset{Pol. Div.}{=}\int (x^6 - \frac{4x^6}{x^7+4})dx   \)
  \(   \overset{Linearitaet}{=}\int x^6dx - 4\int \frac{x^6}{x^7+4})dx   \)
  \(   \overset{geloest \int x^6dx}{\Longrightarrow} = \frac{x^7}{7}   \)
  \(   \overset{geloest\int \frac{x^6}{x^7+4}dx}{\Longrightarrow} \) Substituiere \(u=x^7+4 \longrightarrow du=7x^6dx\) dann erhalten wir\( \frac{1}{7} \int \frac{1}{u}du   \) Das ist \(\ln(u)\), nun fügen wir alles zusammen,wenden die Betragsfunktion an um den Gültigkeitsbereich zu erweitern und substituieren zurück. Dann erhalten wir \( \frac{x^7}{7} - \frac{4ln(|x^7+4|)}{7}   \)
 2. Nun berechnen wir den zweiten Teil des Integrals:\(\int \frac{3x^{6}}{x^{7}+4}dx\):\\
  Zuerst substituieren wir \(v=x^7+4\longrightarrow du=7x^6dx\) \(   = \frac{3}{7}\int \frac{1}{u}du   \) Wir erkennen erneut das Standardintegral ln(u) und können direkt analog zu 1. einsetzen, betragsfunktion anweden und zurücksubstituieren. Dann erhalten wir \(   =\frac{3\ln(|x^7+4|)}{7}   \)
 

Nun fügen wir diese Lösungen wieder zusammen mit der Summenregel und erhalten \( =\frac{3\ln(|x^7+4|)}{7} +  \frac{x^7}{7} - \frac{4ln(|x^7+4|)}{7} + C \)

Comments

ich hab jetzt mal überflogen und mir sind einige Typos aufgefallen, ich meinte natürlich u=x^7+4 nicht v. Aber ich denke das ist auch aus dem Kontext zu erkennen

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Substituieren ist nicht hier nicht notwendig, weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht, wenn man den passenden Faktor (1/7) hinzufügt.

Falls gilt: f(x) =  g'(x)/g(x) -> F(x) = ln g(x)

Answer 1

\(\begin{aligned} & \int\frac{x^{13}+3x^{6}}{x^{7}+4}\mathrm{d}x\\ = & \int\left(x^{6}-\frac{x^{6}}{x^{7}+4}\right)\mathrm{d}x\\ = & \int x^{6}\mathrm{d}x-\int\frac{x^{6}}{x^{7}+4}\mathrm{d}x\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\int\frac{x^{6}}{x^{7}+4}\mathrm{d}x & u & =x^{7}+4\\ &  & \frac{du}{dx} & =7x^{6}\\ &  & dx & =\frac{1}{7x^{6}}du\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\int\frac{x^{6}}{u}\cdot\frac{1}{7x^{6}}\mathrm{d}u\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\frac{1}{7}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\frac{1}{7}\ln\left|u\right|+c_{2}\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\frac{1}{7}\ln\left|x^{7}+4\right|+c_{2}\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}-\frac{1}{7}\ln\left|x^{7}+4\right|+c \end{aligned}\)

Nun berechnen wir den zweiten Teil des Integrals:

Es gibt keinen zweiten Teil, den du noch berechnen müsstest.