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Aufgabe:

Integriere \(\int \frac{x^{13}+3x^6}{x^7+4}dx\)


Problem/Ansatz:

Funktioniert mein Ansatz (ich habe einfach 1zu1 meinen LaTex code kopiert, gibt vielleicht Typos)

Um das Integral \(\int \frac{x^{13}+3x^{6}}{x^{7}+4}dx\) zu berechnen, können wir es mit der Summenregel in zwei Teile aufteilen und jedes Teil separat integrieren:
1. \(\int \frac{x^{13}}{x^{7}+4}dx\)
  \(   \overset{Pol. Div.}{=}\int (x^6 - \frac{4x^6}{x^7+4})dx   \)
  \(   \overset{Linearitaet}{=}\int x^6dx - 4\int \frac{x^6}{x^7+4})dx   \)
  \(   \overset{geloest \int x^6dx}{\Longrightarrow} = \frac{x^7}{7}   \)
  \(   \overset{geloest\int \frac{x^6}{x^7+4}dx}{\Longrightarrow} \) Substituiere \(u=x^7+4 \longrightarrow du=7x^6dx\) dann erhalten wir\( \frac{1}{7} \int \frac{1}{u}du   \) Das ist \(\ln(u)\), nun fügen wir alles zusammen,wenden die Betragsfunktion an um den Gültigkeitsbereich zu erweitern und substituieren zurück. Dann erhalten wir \( \frac{x^7}{7} - \frac{4ln(|x^7+4|)}{7}   \)
 2. Nun berechnen wir den zweiten Teil des Integrals:\(\int \frac{3x^{6}}{x^{7}+4}dx\):\\
  Zuerst substituieren wir \(v=x^7+4\longrightarrow du=7x^6dx\) \(   = \frac{3}{7}\int \frac{1}{u}du   \) Wir erkennen erneut das Standardintegral ln(u) und können direkt analog zu 1. einsetzen, betragsfunktion anweden und zurücksubstituieren. Dann erhalten wir \(   =\frac{3\ln(|x^7+4|)}{7}   \)
 

Nun fügen wir diese Lösungen wieder zusammen mit der Summenregel und erhalten \( =\frac{3\ln(|x^7+4|)}{7} +  \frac{x^7}{7} - \frac{4ln(|x^7+4|)}{7} + C \)

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ich hab jetzt mal überflogen und mir sind einige Typos aufgefallen, ich meinte natürlich u=x^7+4 nicht v. Aber ich denke das ist auch aus dem Kontext zu erkennen

Substituieren ist nicht hier nicht notwendig, weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht, wenn man den passenden Faktor (1/7) hinzufügt.

Falls gilt: f(x) =  g'(x)/g(x) -> F(x) = ln g(x)

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\(\begin{aligned} & \int\frac{x^{13}+3x^{6}}{x^{7}+4}\mathrm{d}x\\ = & \int\left(x^{6}-\frac{x^{6}}{x^{7}+4}\right)\mathrm{d}x\\ = & \int x^{6}\mathrm{d}x-\int\frac{x^{6}}{x^{7}+4}\mathrm{d}x\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\int\frac{x^{6}}{x^{7}+4}\mathrm{d}x & u & =x^{7}+4\\ &  & \frac{du}{dx} & =7x^{6}\\ &  & dx & =\frac{1}{7x^{6}}du\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\int\frac{x^{6}}{u}\cdot\frac{1}{7x^{6}}\mathrm{d}u\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\frac{1}{7}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\frac{1}{7}\ln\left|u\right|+c_{2}\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}+c_{1}-\frac{1}{7}\ln\left|x^{7}+4\right|+c_{2}\\ = & \frac{1}{7}x{{}^7}-\frac{1}{7}\ln\left|x^{7}+4\right|+c \end{aligned}\)

Nun berechnen wir den zweiten Teil des Integrals:

Es gibt keinen zweiten Teil, den du noch berechnen müsstest.

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